Аннотация:
Любая матрица размера $n\times n$ над полем из двух элементов
может быть представлена как сумма $P+Q$ при условиях $P^2=P$ и $Q^4=0$.
Штер (Janez Šter, On expressing matrices over $\mathbb{Z}_2$ as the sum
of an idempotent and a nilpotent, 2018) доказал это утверждение и поставил
вопрос: при каких $n$ условие «$Q^4=0$» можно заменить на «$Q^3=0$»? Бреаз
(Simion Breaz, Matrices over finite fields as sums of periodic and
nilpotent elements, 2018) предположил, что ответ на этот вопрос положителен
при всех достаточно больших $n$; докладчик надеется объяснить, почему при
$n=8k+4$ это не так. Вопрос Штера остается открытым для всех $n$, кроме
$n\leqslant 9$ и $n=8k+4$.
|
