Семинары: А. Б. Богатырев, Представление решений интегрального уравнения ПС-3

СЕМИНАРЫ


Семинар «Оптимальное управление и динамические системы» 17 мая 2006 г., г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)

Представление решений интегрального уравнения ПС-3 А. Б. Богатырёв Институт вычислительной математики им. Г.И. Марчука Российской академии наук, г. Москва
Аннотация: Сингулярное интегральное уравнение Пуанкаре–Стеклова со спектральным параметром $\lambda$ возникает при обосновании и оптимизации метода разделения области решения краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости, а также в примитивной модели нефтедобычи. Используя методы (комплексной) геометрии, мы можем дать представления для собственных чисел и функций уравнения ПС-3 в терминах т.н. мембран Кляйна. По существу, решение интегрального уравнения сводится к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными числами — модулями штанов. Интегральное уравнение сводится к некоторой задаче для проективных структур (с монодромией, зависящей от спектрального параметра $\lambda$) на римановой поверхности рода 2, определяемой по уравнению. Эта задача имеет комбинаторную природу и решается при помощи техники, напоминающей детские рисунки Гротендика. Дискретный спектр уравнения ПС-3 при таком подходе возникает в результате последовательного применения некоторой хирургии (т.н. grafting), изобретенной Маскитом, Хейхалом и Гольдманом в 1970-х годах. Литература: [1] Богатырев А. Б. Геометрический метод решения интегрального уравнения Пуанкаре–Стеклова // Математические заметки 63:3 (1998) [2] Богатырев А. Б. Интегральные уравнения ПС и задача монодромии Римана // Функц. анализ и его приложения 34:2 (2000) [3] Богатырев А. Б. Интегральные уравнения ПС-3 и проективные структуры на римановых поверхностях // Математический сборник 192:4 (2001)