Семинары: П. Д. Андреев, Некоторые теоремы геометрии пространств неположительной кривизны в смысле Буземана

СЕМИНАРЫ


Алгебраическая топология и её приложения. Семинар им. М. М. Постникова 6 декабря 2016 г. 16:45, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 16-08

Некоторые теоремы геометрии пространств неположительной кривизны в смысле Буземана П. Д. Андреев Поморский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Аннотация: Под пространством неположительной кривизны по Буземану понимается геодезическое пространство (метрическое пространство, в котором любые две точки можно соединить отрезком), обладающее свойством: средняя линия любого треугольника не превосходит половины основания. Изучаются элементарные свойства и примеры таких пространств, сходимость по Громову–Хаусдорфу, геодезическая и метрическая компактификации. В качестве основных результатов рассматриваются две теоремы. 1. Теорема о топологическом строении $G$-пространств Буземана неположительной кривизны: всякое $G$-пространство Буземана неположительной кривизны гомеоморфно евклидову пространству и имеет структуру сингулярного финслерова многообразия: в каждой точке корректно определено касательное пространство, которое является нормированным пространством со строго выпуклой нормой. 2. Теорема о характеризации изометрий как отображений, сохраняющих фиксированное расстояние: Пусть $X$, $Y$ – два локально компактных, геодезически полных, связных на бесконечности пространства неположительной кривизны по Буземану и $f\colon X \to Y$ – биекция. Если существует число $r > 0$ такое, что как $f$, так и обратное к $f$ отображение, сохраняют расстояние $r$ (то есть $d(x, y) = r$ тогда и только тогда, когда $d(f(x), f(y)) = r$), то $f$ является изометрией. Ряд результатов, играющих вспомогательную роль при доказательстве приведённых теорем, имеют при этом самостоятельную значимость.