Семинары: Д. А. Попов, Формула Сельберга для кофинитных групп и гипотеза Рельке

СЕМИНАРЫ


Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» (семинар С. П. Новикова) 1 июля 2015 г. 14:00, г. Москва, МИАН

Формула Сельберга для кофинитных групп и гипотеза Рельке Д. А. Попов Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии имени А. Н. Белозерского
Аннотация: Пусть $H$ – верхняя полуплоскость с метрикой Пуанкаре $$ds{^2}=(y^{-2})(dx^{2} dy^{2})$$ . Кофинитной называется дискретная группа $\Gamma\subset PSL(2,\mathbb{R})$ c некомпактной фундаментальной областью $F$ конечной площади $\|F\|$ относительно инвариантной меры $d\mu=(y^{-2})dxdy$. Оператор Лапласа $$\Delta=y^{2}((\partial_x)^{2} (\partial_y)^{2}),$$ расширенный до самосопряженного оператора на $L_2(F,d\mu)$, имеет непрерывный спектр, покрывающий интервал $[\frac{1}{4},\infty)$, и дискретный спектр ${\lambda_n}$. Относительно структуры дискретного спектра известно немного. В частности, не известно, для каких групп $\Gamma$ этот спектр бесконечен. Пусть $N(T^{2} \frac{1}{4})=#\{n\|\lambda_{n}\leq T^{2} \frac{1}{4}\}$. Гипотеза Рельке состоит в предположении, что $$N(T^{2} \frac{1}{4})\to\infty,\forall\Gamma,(T\to\infty)$$ . Известны работы, в которых приведены аргументы в пользу другой гипотезы. Гипотеза Сарнака: для кофинитной группы $\Gamma$, соответствующей точке общего положения в пространстве Тейхмюллера, дискретный спектр ${\lambda_n}$ конечен. В докладе будет дано достаточное условие справедливости гипотезы Рельке. Этот результат опирается на полученную автором формулу, дающую новую интерпретацию знаменитой формулы Сельберга.