Аннотация:
Симметричное тензорное поле на римановом многообразии называется
киллинговым, если симметричная часть его ковариантной производной равна
нулю. Имеется взаимно однозначное соответствие между киллинговыми
тензорными полями и первыми интегралами геодезического потока,
полиномиально зависящими от скорости. Поэтому киллинговы тензорные поля
тесно связаны с задачей интегрируемости геодезического потока. В
частности, остается открытым вопрос: существует ли на двумерном торе
риманова метрика, допускающая неприводимое киллингово тензорное поле
валентности $\geq 3$? Мы приводим два необходимых условия на риманову
метрику на 2-торе для существования неприводимого киллингова тензорного
поля. Первое условие относится к киллинговым тензорным полям
произвольной валентности и связано с замкнутыми геодезическими. Второе
условие получено для киллинговых тензорных полей валентности 3 и связано
с изолиниями гауссовой кривизны.
|
