Аннотация:
Известный факт, восходящий к С. Ли, Э. Картану и А. Трессе гласит, что
(неособые) обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка
обладают жесткостью, то есть малое шевеление одного такого уравнения
приводит к уравнению, неэквивалентному исходному посредством точечных
преобразований (т.е. преобразований, индуцированных диффеоморфизмами
плоскости независимой и зависимой переменных). Для решения данной
задачи эквивалентности было разработано несколько подходов. В частности,
В. Арнольд построил нормальную форму для таких дифференциальных уравнений.
Известно, тем не менее, что нормальная форма Арнольда неполна (т.е. у одного
и того же уравнения имеется функционально много нормальных форм).
В данной работе мы рассказываем о новом подходе к задаче
эквивалентности ОДУ второго порядка (и гораздо более общих систем
дифференциальных уравнений). Подход основан на нормальных формах для
пространств решений таких уравнений. В качестве приложения получается
построить и (сходящуюся) полную нормальную форму для ОДУ второго
порядка. Такая нормальная форма определена с точностью до действия
проективной группы плоскости. Вдобавок, возникают интересные
канонические кривые, ассоциированные с уравнением, которые мы называем
цепями.
|
