Семинары: В. В. Подольский, Об одном аналоге известной теоремы Гильберта о нулях для многочленов в алгебраической системе $(\mathbb{R}, \min, +)$

«Алгоритмические вопросы алгебры и логики» (семинар С.И.Адяна)
11 ноября 2014 г. 18:30, г. Москва, Математический институт им.В.А.Стеклова РАН

Об одном аналоге известной теоремы Гильберта о нулях для многочленов в алгебраической системе $(\mathbb{R}, \min, +)$ В. В. Подольский
Аннотация: В докладе будут рассматриваться многочлены над так называемым мин-плюс полукольцом $(\mathbb R,\oplus,\otimes)$, где $x \oplus y = \min(x,y)$ и $x \otimes y = x+y$. Одночленом над переменными $x_1, \ldots, x_n$ в этом полукольце называется выражение вида $$M = c \otimes x_1^{\otimes i_1} \otimes \ldots \otimes x_n^{\otimes i_n},$$ где $c$ – действительное число. Многочленом над мин-плюс полукольцом называется сумма одночленов: $f = \bigoplus_i M_i.$ Вектор $x \in \mathbb{R}^n$ называется корнем многочлена $f$, если минимум $\min_i\{M_i(x)\}$ достигается на не менее чем двух различных одночленах $M_i$, т. е. если существуют различные $j, k$, такие что $M_j(x) = M_k(x) = \min_i\{M_i(x)\}$. В докладе будет рассказано об аналоге теоремы Гильберта о нулях в мин-плюс полукольце. А именно, будет введено понятие сингулярной алгебраической комбинации таких многочленов и будет показано, что система многочленов не имеет общего корня тогда и только тогда, когда существует их сингулярная алгебраическая комбинация. Будет также дана верхняя оценка степени этой алгебраической комбинации и приведены примеры, показывающие точность этой оценки. Доклад основан на совместной работе докладчика и Д.Ю. Григорьева (см. D. Grigoriev, V.V. Podolskii, Tropical Effective Primary and Dual Nullstellensätze, arXiv:1409.6215). Website: https://arxiv.org/abs/1409.6215