Аннотация:
Многочлены Ласку представляют собой одновременное обобщение
нескольких важных семейств многочленов, возникающих в алгебраической
комбинаторике: многочленов Шура, которые появляются как характеры
неприводимых $GL(n)$-модулей и как представители классов Шуберта в кольце
когомологий грассманиана; ключевых многочленов, определяемых как характеры
модулей Демазюра в $GL(n)$-модулях; и, наконец, симметрических многочленов
Гротендика, которые с геометрической точки зрения соответствуют классам
структурных пучков многообразий Шуберта в $K$-теории грассманиана.
Я расскажу о новом комбинаторном представлении многочленов Ласку в
терминах многогранников Гельфанда–Цетлина, полученном в нашей совместной
работе с Екатериной Пресновой (Нистюк). Оказывается, что они могут быть
получены из некоторого явно описанного клеточного разбиения многогранника
Гельфанда-Цетлина в виде сумм мономов, соответствующих клеткам этого
разбиения, принадлежащим заданному множеству граней многогранника. Такое
описание обобщает наш совместный результат с В. Кириченко и В. Тимориным
(2012) о выражении характеров модулей Демазюра как сумм мономов,
отвечающих целочисленным точкам в гранях многогранников Гельфанда–Цетлина.
Если останется время, я также упомяну (в основном гипотетические) аналоги
этих утверждений для других классических групп.
