Аннотация:
Доклад основан на совместной работе с А.А. Бутурлакиным.
Пусть $G$ — конечная группа, возникающая следующим образом: $G=C_{\mathbb G}(\sigma)$, где $\mathbb{G}$ — односвязная простая алгебраическая группа над алгебраическим замыканием поля простого порядка $p$ и $\sigma$ — сюръективный эндоморфизм группы $\mathbb{G}$. Тогда, за конечным числом исключений, $G/Z(G)$ — простая группа, и все конечные простые группы лиева типа могут быть получены таким образом. Будем для краткости писать $\mathbb H_\sigma$ вместо $C_{\mathbb H}(\sigma)$ для любой $\sigma$-инвариантной подгруппы или надгруппы $\mathbb H$ группы $\mathbb G$.
Пусть $\alpha$ — полупростой автоморфизм группы $\mathbb{G}$ (другими словами, $\alpha^k$ — сопряжение полупростым элементом группы $\mathbb G$ для некоторого $k$, взаимно простого с $p$). По теореме Стейнберга [1, теорема 8.1] централизатор $C_{\mathbb G}(\alpha)$ — связная редуктивная группа. В частности, если $g$ — полупростой элемент группы $G$, то $C_G(g)=(C_{\mathbb G}(g))_\sigma$ — множество неподвижных точек эндоморфизма $\sigma$ в редуктивной подгруппе группы $\mathbb G$. Описание централизаторов полупростых элементов группы $G$, основанное на этом соображении, изложено в работе Р. Картера [3] и, в свою очередь, на основе этого описания завершен подсчет порядков элементов конечных простых групп лиева типа (см. [2]).
Пусть теперь $\tau$ — графовый автоморфизм группы $\mathbb G$ (т.е. $\tau$ — автоморфизм порядка $2$ или $3$, связанный с нетривиальной симметрией диаграммы Дынкина системы корней группы $\mathbb G$). Предположим, что $\tau$ перестановочен с $\sigma$. Тогда $\tau$ индуцирует автоморфизм группы $G$, который принято обозначать той же буквой, $G\rtimes \langle \tau\rangle=(\mathbb G\rtimes \langle \tau\rangle)_\sigma$ и, за конечным числом исключений, $(G\rtimes \langle \tau\rangle)/Z(G)$ — расширение простой группы $G/Z(G)$ графовым автоморфизмом (и так можно получить все расширения простых групп лиева типа графовыми автоморфизмами).
Наша цель — посчитать порядки элементов группы $(G\rtimes \langle \tau\rangle)/Z(G)$, и в случае, когда $\tau$ полупрост, мы используем ту же идею с централизаторами полупростых элементов: если $g$ — полупростой элемент из смежного класса $\tau G$, то $C_{G\rtimes \langle \tau\rangle}(g)=(C_{\mathbb{G}\rtimes \langle \tau\rangle}(g))_\sigma$ и $(C_{\mathbb{G}\rtimes \langle \tau\rangle}(g))^\circ=C_{\mathbb{G}}(g)$ — редуктивная подгруппа группы $\mathbb G$; строение этих редуктивных групп описано в работе Ф. Диня и Ж. Мишеля [4], и затем мы переходим к конечным группам в духе Картера. Хотя эту идею можно использовать для любых простых групп лиева типа, основной интерес она представляет для исключительных групп, поскольку в случае классических групп группа $(G\rtimes \langle \tau\rangle)/Z(G)$ имеет естественное матричное представление и порядки элементов проще считать в этом представлении.
В докладе будет представлено воплощение этой идеи для исключительных групп лиева типа, имеющих графовые автоморфизмы, т.е. для групп $E_6(q)$, $^2E_6(q)$ и $^3D_4(q)$.
Список литературы [1] R. Steinberg. Endomorphisms of linear algebraic groups. Mem. Amer. Math. Soc. 80, 1968.
[2] А.А. Бутурлакин. Спектры групп $E_8(q)$. Алгебра и логика 57 (2018), 3–13.
[3] R.W. Carter. Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 37, 1978, 491–507.
[4] F. Digne, J. Michel. Quasi-semisimple elements. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 116, 2018, 1301–1328.
