Семинары: М. Б. Дубашинский, Лакуна в коточном спектре 1-лапласиана и экспоненциальный рост группы

СЕМИНАРЫ


Анализ сигналов и пространства функций 17 декабря 2025 г. 17:30, г. Санкт-Петербург, 14 линия В.О., д. 29, ауд. 217б + Zoom

Лакуна в коточном спектре 1-лапласиана и экспоненциальный рост группы М. Б. Дубашинский Санкт-Петербургский государственный университет, факультет математики и компьютерных наук
Аннотация: Пусть $\Gamma$ — конечнозаданная группа, $\textrm{Cay}(\Gamma)$ — какой-нибудь её граф Кэли, $E$ — множество его ориентированных рёбер. Построим двумерный комплекс Кэли $\textrm{Cay}^{(2)}(\Gamma)$, заклеив в графе $\textrm{Cay}(\Gamma)$ ориентированными многоугольными гранями все соотношения группы, разнесённые во все её точки. Комплекс $\textrm{Cay}^{(2)}(\Gamma)$ задаёт оператор Ходжа–Лапласа $\Delta_1:=d\partial + \partial d$ на функциях из $E$ в $\mathbb{R}$; $\Delta_1$ действует на $$\ell_{0,c}^2(E):=\textrm{clos}_{\ell^2(E)}\{f:E\to\mathbb{R} \| \partial f = 0, \textrm{supp}f — \textrm{конечный}\}.$$ Здесь $\partial$ — дискретная дивергенция функции рёбер. Мы доказываем следующий результат в духе теоремы Кестена: пусть $\Delta_1 \|_{\ell_{0,c}^2(E)}$ отделён от нуля; тогда либо $\Gamma$ имеет экспоненциальный рост, либо $\Gamma$ — виртуально $\mathbb{Z}$. ^* Zoom ID: 675-315-555, пароль: mkn