Семинары: А. Ю. Попов, Развитие теоремы Валирона--Гольдберга

СЕМИНАРЫ


Семинар по комплексному анализу (Семинар Гончара) 1 октября 2012 г. 18:00, г. Москва, МИАН, комн. 411 (ул. Губкина, 8)

Развитие теоремы Валирона–Гольдберга А. Ю. Попов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация: Напомню результат, который правомерно называют теоремой Валирона–Гольдберга. Пусть $\rho(r)$ – произвольный уточненный порядок, $$ \lim_{r\to+\infty}\rho(r)=\rho\notin\mathbb Z, $$ $f$ – произвольная целая функция порядка $\rho$. Обозначим $n_f(r)$ количество корней (с учетом кратностей) в круге $\|z\|\leq r$. Тогда при условии $$ \varlimsup_{r\to+\infty}r^{-\rho(r)}n_f(r)=D<+\infty $$ тип функции $f$ при уточненном порядке $\rho(r)$ не больше $DS(\rho)$, где $$ S(\rho)=\int_0^{+\infty} r^{-\rho}\,dM_p(r), $$ $p=[\rho]$, $M_0(r)=\ln(1+r)$, $$ M_p(\rho)=\max_{0\leq\varphi\leq2\pi} \biggl(\frac12\ln(1-2r\cos\varphi+r^2) +\sum_{k=1}^p\frac{r^k}k\cos{k\varphi}\biggr). $$ Этот результат был опубликован в работе Ж. Валирона 1913 года, но доказательство в случае $\rho(r)\not\equiv\rho$ содержало пробелы. В полном объеме теорема была доказана А. А. Гольдбергом, который доказал также невозможность уменьшения величины $S(\rho)$ в формулировке этой теоремы, каков бы ни был уточненный порядок.