Аннотация:
Рассматриваются уравнения эластодинамики, описывающие изоэнтропическое течение сжимаемых упругих неогуковских материалов для размерностей пространства $d=2$ или $d= 3$:
\begin{equation}\label{Trakhinin:sys}
\left\{
\begin{array}{l}
\partial_t\rho +{\rm div}\, (\rho v )=0, \\
\partial_t(\rho v ) +{\rm div}\,(\rho v\otimes v ) + {\nabla}p-{\rm div}\,(\rho FF^{\top})=0,\\
\partial_t(\rho F_j ) +{\rm div}\,(\rho F_j\otimes v - v\otimes \rho F_j) =0,\quad j=1,\ldots,d,
\end{array}
\right.
\end{equation}
где $\rho$ — плотность, $v\in\mathbb{R}^d$ — скорость, $F\in \mathbb{M}(d,d)$ — градиент деформации, $F_j=(F_{1j},\ldots,F_{dj})^{\top}$ — $j$-й столбец $F$, а давление $p=p(\rho)$ — гладкая функция $\rho$.
Система \eqref{Trakhinin:sys} дополняется $d$ дивергентными ограничениями
${\rm div}\,(\rho F_j)=0$ на начальные данные. Физическое тождество $\rho\det F =1$ также является ограничением на начальные данные для задачи Коши. Система \eqref{Trakhinin:sys} возникает как невязкий предел уравнений сжимаемой вязкоупругости типа Олдройда.
Уравнения \eqref{Trakhinin:sys} переписываются в виде квазилинейной симметрической системы, которая является гиперболической, если $\rho >0$ и $p'(\rho)>0$. Для гиперболической системы законов сохранения \eqref{Trakhinin:sys} естественно рассматривать возможность существования кусочно-гладких решений с поверхностью сильного разрыва, являющегося ударной волной. Локальная по времени корректность соответствующей задачи со свободной границей с граничными условиями Ренкина–Гюгонио необходима для реального существования ударной волны. В докладе обсуждается нахождение условий существования ударных волн в двумерной эластодинамике ($d=2$) как энергетическим [1], так и спектральным методами [2]. Также кратко обсуждаются недавние результаты [3] для общего трехмерного случая ($d=3$).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 24-21-00192).
Список литературы
Morando A., Trakhinin Y., Trebeschi P., “Structural stability of shock waves in 2D compressible elastodynamics”, Math. Ann., 378:3-4 (2020), 1471–1504
Trakhinin Y., “On weak stability of shock waves in 2D compressible elastodynamics”, J. Hyperbolic Differ. Equ., 19:1 (2022), 157–173
Shafeev A., Trakhinin Y., “Three-dimensional structural stability of shock waves in elastodynamics”, Submitted
