Видеотека: В. Б. Шерстюков, Разложение на простые дроби специальных бесконечных произведений с корнями на луче

ВИДЕОТЕКА


Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации 4 июня 2025 г. 16:45, г. Коломна

Разложение на простые дроби специальных бесконечных произведений с корнями на луче В. Б. Шерстюков
Аннотация: При фиксированном $\,s>1\,$ рассматривается целая функция $\,L\,$ порядка ${1/s\in (0,1)}$, заданная бесконечным произведением нулевого рода с корнями вида $$ \lambda_0=0,\quad\lambda_n=n^s\,+\,O(1),\quad n\in\mathbb{N}. $$ Интерес к таким функциям восходит к работе Харди 1905 года и усилился в последнее время благодаря применениям в теории спектральных разложений операторов. Показано, что при $\,s\geqslant2\,$ величина $\,1/L\,$ раскладывается в ряд типа Крейна $$ \frac{1}{L(\lambda)}\,=\,\frac{1}{\lambda}\,+\,\sum\limits^{\infty}_{n=1}\; \frac{1}{L'(\lambda_n)(\lambda-\lambda_n)} $$ с абсолютной и равномерной сходимостью на компактах $\mathbb{C}$, не содержащих точек $\lambda_n$. При $1<s<2$ подобное разложение отсутствует. Обсуждаются частные случаи и сопутствующие суммационные соотношения.