Видеотека: Т. М. Садыков, Вычеты Гротендика и универсальные базисы в пространствах голоморфных решений голономных систем уравнений

ВИДЕОТЕКА


Конференция по комплексному анализу и его приложениям 14 сентября 2023 г. 15:00, г. Красноярск, пр. Свободный, д. 79, к. 3-4

Вычеты Гротендика и универсальные базисы в пространствах голоморфных решений голономных систем уравнений Т. М. Садыков Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова, г. Москва
Аннотация: Обозначим через $\mathcal{D}_n$ алгебру Вейля линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами и независимыми переменными $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb{C}^n$ и через $\mathcal{S}_{D}(J) := \{f\in\mathcal{O}(D) : Pf=0, P\in J \}$ – голоморфные решения левого идеала $J\subset\mathcal{D}_n$ в области $D\subset\Bbb{C}^n$. Идеал $J$ в алгебре Вейля (а также определяемая им система линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами) называется голономным, если комплексная размерность его характеристического многообразия равна размерности пространства переменных, то есть, $n.$ Широко распространенной является ситуация, когда система дифференциальных уравнений содержит параметры, то есть, величины, по которым не выполняется дифференцирование, но которые могут принимать различные значения из некоторого множества. В этом случае возникает вопрос о характере зависимости решений системы уравнений от ее параметров. Будем предполагать параметры изучаемых систем дифференциальных уравнений алгебраически независимыми и принимающими значения из поля комплексных чисел. Под вырождением фундаментальной системы решений системы дифференциальных уравнений на некотором множестве в пространстве ее параметров понимается появление линейной зависимости между решениями для значений параметров из данного множества. Характер вырождения базиса в пространстве решений линейной системы дифференциальных уравнений с параметрами существенно зависит от выбора его элементов. Будем говорить, что решения левого идеала $J\subset\mathcal{D}_n$ с параметрами $\lambda\in\Bbb{C}^m$ образуют универсальный базис в пространстве $\mathcal{S}_{D}(J),$ если они линейно независимы и порождают все пространство $\mathcal{S}_{D}(J)$ для всех $\lambda\in\Bbb{C}^{m}.$ В докладе будет представлен метод построения универсальных базисов в пространствах решений некоторых голономных систем дифференциальных уравнений с помощью вычетов Гротендика мероморфных дифференциальных форм. Данное исследование выполнено в рамках государственного задания в сфере научной деятельности Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, номер проекта FSSW-2023-0004.