Семинары: А. В. Дуков, Кратные предельные циклы, рождающиеся при разрушении гиперболических полициклов

СЕМИНАРЫ


Семинар «Оптимальное управление и динамические системы» 21 апреля 2023 г. 13:00, г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8) + online

Кратные предельные циклы, рождающиеся при разрушении гиперболических полициклов А. В. Дуков Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация: Рассмотрим гладкое векторное поле на гладком двумерном римановом ориентируемом многообразии $M$. Гиперболическим полициклом векторного поля называется ориентированный граф, вложенный в многообразие $M$, который удовлетворяет следующим требованиям: его вершины – это особые точки; его рёбра – сепаратрисные связки (ориентация задаётся временем); граф эйлеров (существует путь, обходящий каждое ребро полицикла по одному разу). При малом возмущении полицикл может разрушиться и породить предельные циклы. Предельным циклом называется периодическая траектория, изолированная от остальных периодических траекторий. Предельный цикл имеет кратность $m$, если при малом возмущении он распадается, но не более чем на $m$ предельных циклов (полная аналогия с кратными корнями гладкой функции на действительной прямой). Задача об оценке числа предельных циклов, рождающихся из полицикла, – это сложная задача, имеющая связь со второй половиной 16-й проблемы Гильберта (до конца нерешённой до сих пор). Поэтому возникает идея рассмотреть чуть более лёгкую задачу: оценить кратность любого рождающегося цикла. Оказывается, что в типичном случае их кратность не превосходит количество рёбер гиперболического полицикла (см. определение). Самое интересное в этой задаче – это то, что она, сформулированная исключительно в терминах гладких векторных полей, сводится к решению некоторой полиномиальной системы. То есть, от диффуров мы переходим к коммутативной алгебре.