Аннотация:
Пусть ${\mathcal{D}\subset \mathbb{R}^3}$ — компактная область, ограниченная конечным числом софокусных квадрик и имеющая двугранные углы излома на границе, равные $\pi/2$. Рассмотрим следующую динамическую систему: материальная точка (шар) единичной массы движется внутри $\mathcal{D}$ под действием силы упругости (закон Гука), отражаясь от $\partial\mathcal{D}$ абсолютно упруго. Такая система является интегрируемой по Лиувиллю системой в кусочно-гладком смысле. Один из ее первых интегралов — полная механическая энергия. Еще два первых интеграла $F_1$ и $F_2$, функционально независимых с $H$, можно найти с помощью метода В. В. Козлова, используя дополнительные первые интегралы $I_1, I_2$ задачи без потенциала. Оказывается, что функции $H$, $F_1$ и $F_2$ находятся в инволюции относительно стандартной скобки Пуассона.
В докладе будут рассмотрены биллиарды с потенциалом Гука внутри двух трехмерных софокусных столов. Для каждого из этих столов построены бифуркационные диаграммы соответствующих биллиардов, описаны прообразы малых окрестностей слоев слоения Лиувилля, а также определены классы гомеоморфности изоэнергетических поверхностей для небифуркационных значений энергии.
|
