Аннотация:
Основная характеристика поведения и роста мероморфных функций $f$ на комплексной плоскости $\mathbb C$
— характеристика Неванлинны $T(r,f)$, $r>0$. С начала XX в. известно, что невозможно оценить рост
максимума модуля $M(r,f)$ функции $|f|$ на окружностях радиуса $r$ с центром в нуле через $T(r,f)$, как и наоборот —
$T(r,f)$ через $M(r,f)$. Но ряд классических и недавних результатов [1]–[2] теории Неванлинны показывают, что возможна оценка интегралов от $\ln M(r,f)$ по мере Лебега по подмножествам на отрезках $[0,r]$
или интегралов от функций $\ln|f|$ по длине малых дуг на окружностях радиуса $r$ с центром в нуле через $T(R,f)$
при любых $R>r$, а также по плоской мере Лебега по малым подмножествам в $\mathbb C$.
В 2021 году нам удалось в критериальной форме полностью завершить исследования по этой тематике для мероморфных функций на $\mathbb C$ и на замкнутых кругах $\overline D(R)$ радиуса $r$ с центром в нуле как для интегралов Лебега – Стилтьеса от функций $\ln M(r,f)$ по призвольным возрастающим функциям $m$, так и
для интегралов от $\ln|f|$ по произвольным мерам Бореля $\mu$ на $\overline D(r)$ с $r<R$. Все эти результаты изначально устанавливаются нами в более общем субгармоническом обрамлении для разностей $U=u-v$ субгармонических функций $u\not\equiv -\infty$ и $v\not\equiv -\infty$, т.е. $\delta$-cубгармонических функций $U\not\equiv \pm\infty$, в шарах евклидова конечномерного пространства размерности $\geq 2$. При этом носители мер $\mu$ или множеств непостоянства возрастающих функций $m$ могут иметь фрактальную природу. В этом случае оценки приводятся в терминах $h$-меры или $h$-обхвата Хаусдорфа носителей. Особое место, важное в некоторых применениях, занимают оценки интегралов от $\ln |f|$ по длине по спрямляемым подмножествам липшицевых кривых. Такие же оценки можно дать для интегралов от $\delta$-субгармонических функций по площади по
спрямляемым подмножествам липшицевых гиперповерхностей.
Работа выполнена в рамках реализации Программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393).
Website:
https://talantiuspeh.webex.com/talantiuspeh-ru/j.php?MTID=md687fd9e36b8f55e0b4de1efe6e497ae
Список литературы
-
B. N. Khabibullin, “ntegrals of subharmonic functions and their differences with weight over small sets on a ray”, Matematychni Studi, 54:2 (2020), 121–130
-
B. N. Khabibullin, “Integrals with a Meromorphic Function or the Difference of Subharmonic Functions over Discs and Planar Small Sets”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 42:6 (2021), 1175–1182
|
