Видеотека: А. С. Белова, Методы теории возмущений в задаче о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем

ВИДЕОТЕКА


Конференция международных математических центров мирового уровня 13 августа 2021 г. 15:10, г. Сочи

Методы теории возмущений в задаче о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем

А. С. Белова

Башкирский государственный университет, г. Уфа

Аннотация: Рассматривается линейная периодическая гамильтонова система (ЛГПС)
\begin{equation} \frac{dx}{dt} =JA_0(t)x\,, \quad x\in R^{2N} \end{equation}
где $A_0(t)$ – вещественная симметрическая матрица, элементы которой являются непрерывными и $T$-периодическими функциями, а матрица $J$ определена равенством: $ J = \left[
\begin{array} {cccc} 0 & I\\ - I & 0 \end{array}
\right]\,; $ здесь $I$ – единичная $(N\times N)$ матрица.
В докладе обсуждаются вопросы о сильной устойчивости системы (1), а также связанные с ними вопросы о поведении дефинитных и индефинитных мультипликаторов этой системы при переходе от (1) к возмущенной ЛПГС вида:
\begin{equation} \frac{dx}{dt} =JA(t\,,\varepsilon)x \,, \qquad x\in R^{2N} \end{equation}
зависящей от скалярного или векторного параметра $\varepsilon\,.$ Здесь $A(t,\varepsilon)$ – вещественная симметрическая матрица, элементы которой являются непрерывными и $T$-периодическими по $t$ функциями и непрерывно дифференцируемо зависят от малого параметра $\varepsilon$. При этом выполнено равенство: $A(t,0)\equiv A_0(t)$.
Основное внимание в докладе будет уделено вопросу о построении формул первого приближения для возмущений кратных мультипликаторов системы (1) в следующих основных случаях, когда эта система имеет:

кратный (кратности 2) полупростой мультипликатор $\mu_0$ так, что $|\mu_0|=1$ и $\mu_0\ne\pm 1$;
кратный (кратности 2) неполупростой мультипликатор $\mu_0$ так, что $|\mu_0|=1$ и $\mu_0\ne\pm 1$;
мультипликатор $1$ или $-1$ кратности 2.

Полученные формулы первого приближения для возмущения мультипликатора $\mu_0$ будут использованы для изучения задачи анализа устойчивости по Ляпунову ЛПГС (2). Исследование системы (1) базируется на методах теории возмущения [1] и развитием некоторых результатов, полученные в [2].

Website: https://talantiuspeh.webex.com/talantiuspeh-ru/j.php?MTID=mfd8ef3c9970536de66f45436df01a64e

Список литературы

Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1975
M. G. Yumagulov, L. S. Ibragimova, A. S. Belova, “Approximate research of problems on perturbation of periodic and autonomous Hamiltonian systems in critical cases”, Lobachevskii J. Math., 41 (2020), 1924–1931