Семинары: Е. О. Степанов, Коммутаторы соболевских векторных полей

СЕМИНАРЫ


Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам 30 сентября 2020 г. 17:00, г. Санкт-Петербург, Zoom, см. http://www.pdmi.ras.ru/~rtheory/nextsem.html

Коммутаторы соболевских векторных полей Е. О. Степанов Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Аннотация: Пусть $V_1, V_2$ - гладкие ($С^1$) векторные поля. Если их коммутатор (скобка Ли) $[V_1,V_2](x)$ равен нулю для любого $x$, то порожденные ими потоки коммутируют: $\exp (tV_1) \exp (sV_2) x = \exp (sV_2) \exp (tV_1) x$ для любого начального данного $x$. Верно ли это утверждение для негладких векторных полей? Например, липшицевых? Тогда потоки тоже, естественно, определены для всех начальных данных, но вот коммутатор (скобка Ли) уже определен только почти всюду. (В этом случае ответ тоже известен - это работа F.Rampazzo и H.Sussmann 2007г.) А что если векторные поля даже не липшицевы, а только соболевские? Тогда (при небольшом дополнительном условии на их дивергенции) у них тоже определены потоки для ПОЧТИ всех начальных данных. Коммутатор тоже определен почти всюду, но в него входят, вообще говоря, не классические производные, а только слабые. Остается ли верным утверждение "если коммутатор равен нулю почти всюду, то потоки коммутируют для почти всех начальных данных"? В докладе будет дан ответ на этот вопрос и обсуждены перспективы развития этой тематики.