Видеотека: А. Г. Сергеев, Квантовые дифференциалы и пространства функций

Традиционная зимняя сессия МИАН–ПОМИ, посвященная теме «Анализ»
20 декабря 2019 г. 13:05, г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, наб. реки Фонтанки, 27

Квантовые дифференциалы и пространства функций А. Г. Сергеев Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация: Одной из задач некоммутативной геометрии является перевод основных понятий математического анализа на язык банаховых алгебр. Этот перевод осуществляется процедурой квантования, устанавливающей соответствие между функциональными пространствами и алгебрами операторов в гильбертовом пространстве $H$. При этом дифференциал d$f$ функции $f$ (в том случае, когда он корректно определен) заменяется коммутатором операторного образа функции $f$ при указанной процедуре с некоторым оператором симметрии $S$, являющимся самосопряженным оператором в $H$ с квадратом $S^2=I$. Образ d$f$ при квантовании называется квантовым дифференциалом $f$, который корректно определен даже для негладких функций $f$. Возникающее операторное исчисление называется квантовым. В нашем докладе будет приведен целый ряд утверждений из этого исчисления, дающих интерпретацию различных идеалов в алгебре ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве в терминах функциональных пространств. Основное внимание уделяется операторам Гильберта–Шмидта. Роль оператора симметрии $S$ в этом случае исполняет преобразование Гильберта. Мы рассматриваем также пространства функций нескольких вещественных переменных. При этом оператор симметрии определяется с помощью операторов Рисса и матриц Дирака.