Аннотация:
Нильмногообразие $M$ — компактное вещественное однородное пространство вида $G/\Gamma$, где $G$ — односвязная нильпотентная группа Ли, а $\Gamma \subset G$ — ее кокомпактная решетка. Из теоремы Ниренберга–Ньюлендера следует, что левоинвариантую комплексную структуру на нильмногообразии $M=G/\Gamma$ можно понимать как почти комплексную структуру $J$ на касательной алгебре $\mathfrak{g}$ группы $G$ ($J^2=-1$), удовлетворяющую условию интегрируемости $$ [JX,JY]=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY], \; \forall X,Y \in \mathfrak{g}. $$
Продолжая почти комплексную структуру $J$ на комплексификацию $\mathfrak{g}^{\mathbb C}$, мы получаем разложение $\mathfrak{g}^{\mathbb C}=\mathfrak{g}^{\mathbb C}_{{-}i} \oplus \mathfrak{g}^{\mathbb C}_{i},$ где $\mathfrak{g}^{\mathbb C}_{{\pm }i}=\{x-\pm iJx: x \in \mathfrak{g}\}$ — собственные подпространства $J$, отвечающиие собственным значениям $\pm i$. Почти комплексная структура $J$ интегрируема тогда и только тогда, когда оба подпространства $\mathfrak{g}^{\mathbb C}_{{\pm }i}$ являются комплексными подалгебрами в $\mathfrak{g}^{\mathbb C}$. В докладе мы обсудим следующий основной вопрос: какие ограничения на структуру вещественной нильпотентной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ накладывает сам факт существования на ней интегрируемой комплексной структуры? Также будут рассмотрены разнообразные примеры.
