Видеотека: В. И. Буслаев, О многоточечном критерии Шура

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция «VIII Российско-Армянское Совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам» 18 сентября 2019 г. 15:50, г. Москва, МИАН, 9-й этаж

О многоточечном критерии Шура В. И. Буслаев Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
Аннотация: Классический критерий Шура дает ответ на вопрос, является ли функция $f$, заданная своим степенным рядом $f(z)=\sum _{n=0}^\infty f_nz^n$, функцией Шура, т.е. функцией, голоморфной в единичном круге $\mathbb D=\{ \|z\|<1\}$ и принимающей в нем значения, по модулю не превосходящие 1. Ответ дается в терминах введенных Шуром определителей, строящихся специальным образом по коэффициентам $f_0,f_1,\dots $ степенного ряда $f$, а доказательство опирается на алгоритм Шура, позволяющий представить функцию Шура в виде непрерывной дроби специального вида, называемой непрерывной дробью Шура. В докладе будет показано, что определители Шура численно совпадают (с точностью до некоторого простого множителя) с ганкелевыми определителями, строящимися по коэффициентам $f_0,f_1,\dots $ заданного ряда $f$ и коэффициентам $f_0^\infty ,f_1^\infty ,\dots $ ассоциированного ряда $$ f^\infty (z)=\sum _{n=0}^\infty f_n^\infty z^{-n}:=\biggl (\overline{f(\overline{z}^{-1})}\biggl )^{-1}\, . $$ В терминах новых определителей, распространенных на многоточечный случай, удается распространить критерий Шура на формальные ряды вида $$ f_0+f_1(z-e_1)+f_2(z-e_1)(z-e_2)+\dots\, , $$ где $ e_1,e_2,\dots $ – последовательность точек из $\mathbb D$. А именно, в докладе будет сформулирован критерий существования функции Шура $f$, принимающей в точках $ e_1,e_2,\dots $ заданные значения с заданной кратностью $$ \frac{f(z)-\big (f_0+f_1(z-e_1)+\dots +f_n(z-e_1)\dots (z-e_n)\big )}{(z-e_1)\dots (z-e_{n+1})}\in H(\mathbb D )\,\, ,\,\, n=1,2,\dots\, . $$ Доказательство многоточечного критерия Шура опирается на многоточечный алгоритм Шура, позволяющий разложить функцию Шура в многоточечную непрерывную дробь Шура, подходящие дроби которой интерполируют функцию в точках $e_1,e_2,\dots $.