Семинары: Л. В. Локуциевский, Выпуклая тригонометрия в задачах с двумерным управлением

СЕМИНАРЫ


Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления: теория и приложения 11 марта 2019 г. 18:30, г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, ауд. 13-06

Выпуклая тригонометрия в задачах с двумерным управлением Л. В. Локуциевский^ab ^a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет ^b Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация: Доклад будет посвящен явному интегрированию уравнений принципа максимума Понтрягина в задачах с двумерным управлением. Задачи с одномерным управлением очень часто могут быть доведены до аналитического ответа. Задачи с двумерным управлением поддавались точному исследованию намного хуже – исключением можно считать задачи с неограниченным управлением, управлением из круга и, реже, с управлением из квадрата. Если же множество допустимых управлений имеет более сложную структуру, то обычно это вызывает большое количество плохо преодолимых технических трудностей. Так в случае произвольного выпуклого многоугольника для точного решения приходится долго и кропотливо рассматривать все возможные скачки управления с одной вершины на другую. На докладе я расскажу о новом, очень простом языке, позволяющем удобно описывать движение точки по границе двумерного выпуклого множества. Он связан с обобщением классических тригонометрических функций $\cos$ и $\sin$ с круга на произвольное двумерное выпуклое компактное множество $\Omega$. В 2018 г. с помощью этих функций мне удалось проинтегрировать несколько субфинслеровах задач. В 2019 г. вместе с Ю.Л. Сачковым и А.А. Ардентовым нам удалось найти решения еще порядка 10 классических задач с двумерным управлением из $\Omega$, которые до этого момента решались только в случае, когда $\Omega$ – круг. В качестве примеров я приведу задачу о финслеровой длине на плоскости Лобачевского, задачу Дидоны с финслеровой длиной, задачу на группе Картана и другие.