Семинары: А. Д. Брюно, Новое обобщение цепной дроби

СЕМИНАРЫ


Заседания Санкт-Петербургского математического общества 20 апреля 2004 г., г. Санкт-Петербург

Новое обобщение цепной дроби А. Д. Брюно Москва
Аннотация: Алгоритм разложения числа в обычную цепную дробь обладает многими замечательными свойствами. В том числе: 1. Он прост. 2. Он дает наилучшие рациональные приближения к числу. 3. Он периодичен для квадратичных иррациональностей. В XVIII, XIX и XX веках были сделаны многочисленные попытки обобщить этот алгоритм на векторы (Эйлер, Эрмит, Якоби, Дирихле, Пуанкаре, Гурвиц, Брун, Минковский, Клейн, Вороной, Перрон, Скубенко, Арнольд и др.). Но пока так и не найден алгоритм, обладающий свойствами 1 и 2 и свойством 3$'$. Периодичность для кубических иррациональностей. Только алгоритм Вороного обладает свойствами 2 и 3$'$, но он довольно громоздок. Многогранники Клейна–Скубенко–Арнольда, хотя и дают геометрическую интерпретацию наилучших приближений, но не дают основы для хорошего алгоритма, что было выяснено в работах докладчика и В. И. Парусникова. Алгоритмические и геометрические концепции, заложенные в указанные обобщения, видимо, недостаточно отражали фундаментальные свойства цепной дроби. В докладе предложена новая двумерная концепция цепной дроби, которая затем обобщается на трехмерную ситуацию и позволяет построить алгоритм, обладающий свойствами 1, 2 и 3$'$. Рассмотрены примеры с подробными вычислениями по новому алгоритму.