Семинары: А. В. Клименко, Сходимость сферических средних для действий фуксовых групп

СЕМИНАРЫ


Семинар «Оптимальное управление и динамические системы» 10 ноября 2017 г. 13:00, г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)

Сходимость сферических средних для действий фуксовых групп А. В. Клименко
Аннотация: Пусть $G$ — группа, $O$ — конечный симметричный набор образующих в ней. Тогда на группе задана норма — длина кратчайшего слова из образующих, представляющего данный элемент группы. Если $G$ действует сохраняющими меру преобразованиями на вероятностном пространстве $(X,\mu)$, для функций $f\in L^1(X,\mu)$ определены сферические средние $S_n(f)$, равные среднему арифметическому композиций $f$ со всеми преобразованиями, отвечающими элементам группы с нормой, равной $n$. Известны два класса аналогов эргодической теоремы для действий групп, «похожих на свободную». Первый относится к сходимости усреднений по Чезаро последовательности сферических средних. Здесь получены (в работах Григорчука; Нево и Штейна; Буфетова; Буфетова, Клименко и Христофорова) результаты в весьма широкой общности — для всех так называемых марковских групп, причём элементам группы можно придавать различные веса, задаваемые марковской цепью. Результаты о сходимости самих сферических средних значительно слабее, особенно в случае сходимости почти всюду. Ключевую роль в них играет наличие инволюции в пространстве состояний марковской цепи, задающей группу $G$, которая переводит марковскую цепь в ту же цепь с обращённым временем. В частности, Буфетовым была получена поточечная сходимость для действий свободной группы. В докладе будет объяснён новый результат (совм. с. А.И. Буфетовым и К. Сириес), утверждающий поточечную сходимость сферических средних для действий широкого класса фуксовых групп, удовлетворяющих некоторому условию.