RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА
Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы
23 мая 2017 г. 16:20, г. Москва, Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет

On the fractional moments of some mollified arithmetical Dirichlet series

[О дробных моментах некоторых успокоенных арифметических рядов Дирихле]

С. А. Гриценко

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет



Аннотация: В 2002 г. А.А. Карацуба показал, что знание правильных порядков дробных моментов рядов Дирихле позволяет получить в задаче о числе нулей дзета -функции Римана на критической прямой результат, более точный, чем оценка Г. Харди -Дж. Литтлвуда (1921).
В 2017 г. автор получил правильные по порядку верхние и нижние оценки для некоторых успокоенных $L$ -функций Дирихле и применил их к задаче о числе нулей функции Дэвенпорта -Хейльбронна на критической прямой. Под моментами успокоенных $L$ -функций Дирихле здесь и далее понимаются интегралы
$$ \int_{T}^{2T}\bigl|L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\chi\bigr)\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|^{2k}dt, $$
где функция $\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ выбирается так, чтобы она не имела нулей нечетного порядка, а функция $L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\chi\bigr)$ была по возможности близка к константе. Идея введения успокаивающей функции $\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)$ принадлежит А. Сельбергу.
Число $2k$ называется порядком момента. Ранее автор рассматривал только моменты порядков $\tfrac{1}{2}$ и $1$. В настоящем докладе будут представлены оценки моментов порядков $\tfrac{2}{v}$, где $v$ – произвольное натуральное число, большее $2$.
Сформулируем наш основной результат. Пусть $\varepsilon$ – произвольно малое положительное число, $X=T^{\,\varepsilon}$. Пусть
$$ \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{\alpha(\nu)}{\nu^{s}}\,=\, \prod\limits_{p\equiv\pm 1(\mmod 5)}\biggl(1-\frac{1}{2vp^{s}}\biggr)\!\!\prod\limits_{p\equiv\pm 2(\mmod 5)}\biggl(1-\frac{\varepsilon}{p^{s}}\biggr), $$

\begin{equation*} \beta(\nu)\,=\, \begin{cases} \displaystyle \alpha(\nu)\chi_{1}(\nu)\biggl(1-\frac{\log{\nu}}{\log X\mathstrut }\biggr), & \text{при}\;\;\nu<X,\\ 0, & \text{при}\;\;\nu\ge X, \end{cases} \end{equation*}
где $\chi_{1}(\nu)$ – характер по модулю 5 такой, что $\chi_{1}(2)=i$,
$$ \varphi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\,=\,\sum_{\nu<X}\frac{\beta(\nu)}{\nu^{\,1/2+it}},\quad \phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)=\bigl(\varphi\bigr(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr)^{2v}. $$

Теорема. Справедливы следующие оценки:
\begin{multline*} T(\log T)^{(1+2\varepsilon v)^{2}/(2v^2)}\ll \int_T^{2T}\bigl|L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\overline{\chi}_{1}\bigr)\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|^{2/v}dt\ll\\ \ll T(\log T)^{(1+2\varepsilon v)^{2}/(2v^2)},\\ \int_T^{2T}\bigr|L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\chi_{1}\bigr)\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|^{2/v}dt\ll T(\log T)^{(1-2\varepsilon v)^{2}/(2v^2)},\\ \int_T^{2T}\bigr|L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\overline{\chi}_{1}\bigr)\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|dt\ll T(\log T)^{(1+2\varepsilon v)^{2}/8},\\ \int_T^{2T}\bigl|L\bigl(\tfrac{1}{2}+it,\chi_{1}\bigr)\phi\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\bigr|dt\ll T(\log T)^{(1-2\varepsilon v)^{2}/8}. \end{multline*}

Пусть $N_{0}(T)$ — число нулей функции Дэвенпорта–Хейльбронна на отрезке $\bigl[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}+iT\bigr]$. Из приведенной выше теоремы следует, что
$$ N_{0}(2T)\,-\,N_{0}(T)\,\gg\,T(\log T)^{1/2+1/12-\varepsilon}. $$


Язык доклада: английский

© МИАН, 2026