Видеотека: N. G. Moshchevitin, On irrationality measure functions

ВИДЕОТЕКА


Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы 23 мая 2017 г. 12:40, г. Москва, Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет

On irrationality measure functions [О функциях меры иррациональности] Н. Г. Мощевитин Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация: Для вещественного числа $\alpha$ обычная функция меры иррациональности определяется равенством $$ \psi_{\alpha}(t)\,=\,\min_{1\le q\le t, \, q\in \mathbb{Z}}\|\|q\alpha \|\|,\quad t\,\ge\,1 $$ (здесь $\|\|\xi \|\| = \min_{a\in \mathbb{Z}}\|\xi - a\|$ – расстояние от $\xi$ до ближайшего целого числа). Эта функция тесно связана с наилучшими приближениями к числу $\alpha$. Многие диофантовы свойства вещественных чисел могут быть описаны в терминах функции меры иррациональности $\psi_\alpha (t)$. В частности, спектры Лагранжа и Дирихле удобно определять в терминах величин $$ \liminf_{t\to\infty} t\psi_\alpha (t)\,\,\,\, \text{and}\,\,\,\, \limsup_{t\to\infty} t\psi_\alpha (t). $$ Другие интересные результаты связаны с осцилляторными свойствами разности $\psi_\alpha (t) -\psi_\beta (t).$ В докладе будут рассмотрены некоторые свойства функций $$ \psi_\alpha^{[2]}(t)\,=\,\min_{ \begin{array}{c} (q,p): \, q,p\in \mathbb{Z}, 1\le q\le t, \cr (p,q) \neq (p_n, q_n) \,\forall\, n =0,1,2,3,... \end{array} } \|q\alpha -p\| $$ и $$ \psi_\alpha^{[2]} (t)\,=\,\min_{ \begin{array}{c} (q,p): \, q,p\in \mathbb{Z}, 1\le q\le t, \cr p/q \neq p_n/q_n \,\forall\, n =0,1,2,3,... \end{array} } \|q\alpha -p\|, $$ связанные со “вторыми наилучшими” приближениями, а также некоторые свойства функции $\mu_{\alpha}(t)$, относящиеся к диагональной непрерывной дроби Минковского числа $\alpha$. Язык доклада:* английский