Видеотека: O. N. German, Циклические палиндромы и периодические цепные дроби

ВИДЕОТЕКА


Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2016 30 января 2016 г. 12:30, г. Москва, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, механико-математический факультет, 16 этаж, ауд. 16-10

Циклические палиндромы и периодические цепные дроби О. Н. Герман Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация: Доклад основан на результатах совместной работы с И.А. Тлюстангеловым. Со времён Лагранжа известно, что для любого рационального $r>1$, отличного от полного квадрата, справедливо следующее разложение в цепную дробь: $$ \sqrt{r}\,=\,\bigl[a_0;\overline{a_{1},a_{2},\ldots,a_{2},a_{1},2a_{0}\mathstrut}\,\bigr]. $$ В частности, период этой цепной дроби, прочитанный задом наперёд, также является периодом. Мы называем такие периоды циклично палиндромическими и доказываем следующий критерий. Теорема. Цепная дробь квадратичной иррациональности $\alpha$ имеет циклично палиндромический период тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений: $(1)$ $\alpha\sim\beta:\ \beta^2\in\mathbb{Q}$; $(2)$ $\alpha\sim\beta:\ (\beta-1/2)^2\in\mathbb{Q}$; $(3)$ $\alpha\sim\beta:\ \beta\bar\beta=1$; $(4)$ $\alpha\sim\beta:\ \beta\bar\beta=-1$. Кроме того, $(2)$ равносильно $(3)$.