| RUS ENG |
| Полная версия |
|
|
|
| ВИДЕОТЕКА |
|
|
|||
|
Представления решений одного класса системы уравнений в полных дифференциалах с сингулярными точками Б. Шарипов Институт предпринимательства и сервиса, Душанбе |
|||
|
Аннотация: В некоторых работах [1]–[5] были исследованы различные классы системы линейных и нелинейных уравнений в полных дифференциалах (п.д.-системы) для функций двух и многих независимых переменных, причeм как регулярных, так и с сингулярными точками. В случае тождественного выполнения условия совместности, многообразия их решений изучаемых систем находятся вполне определëнными формулами. В предлагаемом сообщении рассматривается один тип нелинейных п.д.-систем с сингулярными точками, для которых условия совместности выполняются тождественно и многообразия решений находятся явно. 1. Рассматрим систему уравнений в полных дифференциалах вида: $$ \frac{\partial{u}}{\partial{\rho}}=\frac{a(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^n}u+\frac{f(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^n}u^m,$$ $$ \frac{\partial{u}}{\partial{\varphi}}=\frac{b(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^{n-1}}u+\frac{g(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^{n-1}}u^m, \tag{1} $$ $$ \frac{\partial{u}}{\partial\Theta}=p(\rho,\varphi,\Theta,u), $$ где $$ \Bigl[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\frac{b}{\rho^{n-1}})- \frac{\partial}{\partial{\varphi}}(\frac{a}{\rho^{n}})\Bigl]u+\Bigl[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\frac{g}{\rho^{n-1}})- \frac{\partial}{\partial{\varphi}}(\frac{f}{\rho^{n}})+(m-1)\frac{ag-bf}{\rho^{2m-1}}\Bigl]u^m=0, $$ $$ \frac{\partial{p}}{\partial{\rho}}+\frac{au+bu^m}{\rho^m}\frac{\partial{p}}{\partial{u}}=(\frac{a}{\rho^n}+m\frac{f}{\rho^n}u^{m-1})p+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{a}{\rho^n})u+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{f}{\rho^n})u^m, \tag{$N_1$} $$ $$\frac{\partial{p}}{\partial{\varphi}}+\frac{bu+gu^m}{\rho^{n-1}}\frac{\partial{p}}{\partial{u}}=(\frac{b}{\rho^{n-1}}+m\frac{g}{\rho^{n-1}}u^{m-1})p+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{b}{\rho^{n-1}})u+\frac{\partial}{\partial{\Theta}}(\frac{g}{\rho^{n-1}})u^m, $$ Допустим, что каждые соотношения из ( $$ b(\rho,\varphi,\Theta)=\Bigl[\frac{\partial}{\partial{\varphi}}A(\rho,\varphi,\Theta)+\alpha(\varphi,\Theta)\Bigl]\rho^{n-1}, A(\rho,\varphi,\Theta)=-\int_\rho^1\frac{a(t,\varphi,\Theta)}{t^n}dt. \tag{2} $$ Производя замену $$ \frac{\partial{W}}{\partial{\rho}}=\alpha(\rho,\varphi,\Theta),\frac{\partial{W}}{\partial{\varphi}}=\beta(\rho,\varphi,\Theta),\frac{\partial{W}}{\partial{\Theta}}=\gamma(\rho,\varphi,\Theta,W), \tag{3} $$ $$ \alpha(\rho,\varphi,\Theta)=(1-m)\cdot\frac{f(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^n}\cdot\exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}, $$ $$ \beta(\rho,\varphi,\Theta)=(1-m)\cdot\frac{g(\rho,\varphi,\Theta)}{\rho^{n-1}}\cdot\exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}, $$ причeм,$\Bigl[\frac{\partial}{\partial{\rho}}(\frac{b}{\rho^{n-1}})\Bigl]= \Bigl[\frac{\partial}{\partial{\varphi}}(\frac{a}{\rho^{n}})\Bigl]$, $\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)=\int_\rho^1\frac{a(t,\varphi,\Theta)}{t^n}dt+\hat{A}(\varphi,\Theta).$ А также, делаем замену: $$ s_0(\rho,\varphi,\Theta)=(1-m)\int_\rho^1\frac{f(t,\varphi,\Theta)}{t^n}\cdot\exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}dt+A_1(\varphi,\Theta), $$ или $$ s_0(\rho,\varphi,\Theta)=\int_\rho^1\alpha(t,\varphi,\Theta)dt+\int_0^\varphi\beta(1,\tau,\Theta)d\tau. $$ Поскольку $\frac{\partial\alpha}{\partial\varphi}=\frac{\partial\beta}{\partial\rho}$, преобразуем систему (3) к более простому виду. Условия ( $$ \gamma(\rho,\varphi,\Theta,W)=(m-1)\frac{\partial{s_0}}{\partial{z}}W+(1-m)\exp\{-s_0(\rho,\varphi,\Theta)\}W^{\frac{m}{m-1}}{\times}b(\rho,\varphi,\exp\{s_0(\rho,\varphi,\Theta)\}W^{\frac{1}{1-m}}). $$ В этой формуле переходя к исходной неизвестной функции, имеем: $$ p(\rho,\varphi,\Theta,u)=\frac{\partial\omega_0}{\partial{\Theta}}u$$ $$ +\frac{1}{1-n} \{\frac{\partial{s_0}}{\partial\Theta}+f[\Theta;exp\{(m-1)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}u^{1-m} -s_0(\rho,\varphi,\Theta)]\} \times\exp\{(1-m)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}u^m. \tag{4} $$ Интегрируем первую пару уравнений системы (3), и делаем замену $$ \exp\{(1-m)\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}u^m-v_0(\rho,\varphi,\Theta)=\psi, \tag{5} $$ где $$ \psi'=f(\Theta,\psi), \tag{6} $$ где функция $$ u(\rho,\varphi,\Theta)=[s_0(\rho,\varphi,\Theta)+\psi(С,\Theta)]^{\frac{1}{1-n}}\cdot\exp\{\omega_0(\rho,\varphi,\Theta)\}. \tag{7} $$ Легко заметит, что функция Теорема. Пусть в п.д.-системе (1) Список литературы
|
|||
