RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА
Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 17:55, г. Москва, МИАН

Квазифейнмановские формулы для группы Шредингера: что это, как их получать, какая от них польза

И. Д. Ремизовab

a Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
b Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

Аннотация: Формула Фейнмана – это равенство следующего вида: слева стоит определяемая равенством функция, а справа – предел кратного интеграла при стремящейся к бесконечности кратности (и только он). Предложенный О. Г. Смоляновым подход, основанный на теореме Чернова, позволил в виде формул Фейнмана получить решения для некоторых важных эволюционных уравнений: теплопроводности, Шрёдингера и других, см. обзоры [1], [2]. В настоящем докладе предлагается расширить поле внимания с фейнмановских формул до квазифейнмановских.
Определение. Квазифейнмановская формула – это равенство следующего вида: слева стоит определяемая равенством функция, а справа – выражение, содержащее кратные интегралы сколь угодно большой кратности. В отличие от фейнмановских, квазифейнмановские формулы в правой части могут содержать суммирование или другие операции.
Естественность такого расширения диктуется недавно полученной теоремой 2, дающей представление решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера не в виде фейнмановских, а в виде квазифейнмановских формул. Причем доказательство двух классов квазифейнмановских формул, даваемых новым методом, оказывается на два порядка проще, чем фейнмановских. Продвижение было достигнуто на основе структурирования условий теоремы Чернова следующим образом:
Теорема 1 [(П. Р. Чернов, 1968)]. Пусть $\mathcal{F}$ — банахово пространство и $L_b(\mathcal{F}, \mathcal{F})$ — пространство всех линейных ограниченных операторов в $\mathcal{F}$, наделенное обычной операторной нормой. Пусть дан линейный оператор $L\colon \mathcal{F}\supset Dom(L)\to \mathcal{F}$ и такая функция $G$, что:
{(E)} Существует сильно непрерывная полугруппа $(e^{tL})_{t\geq 0}$ с генератором $(L,Dom(L))$.
{(CT1)} Функция $G$ определена на $[0,+\infty)$, принимает значения в $L_b(\mathcal{F},\mathcal{F})$, и отображение $t\longmapsto G(t)f$ непрерывно на каждом векторе $f\in\mathcal{F}$.
{(CT2)} $G(0)=I$.
{(CT3)} Существует такое плотное в $\mathcal{F}$ подпространство $\mathcal{D}\subset \mathcal{F}$, что при всех $f\in \mathcal{D}$ существует $G'(0)f=\lim_{t\to 0}(G(t)f-f)/t$.
{(CT4)} Замыкание оператора $(G'(0),\mathcal{D})$ существует и равно $(L,Dom(L))$.
{(N)} Существует такое число $\omega\in\mathbb{R}$, что $\|G(t)\|\leq e^{\omega t}$ при всех $t\geq 0$.
Тогда для каждого $f\in \mathcal{F}$ справедливо $(G(t/n))^nf\to e^{tL}f$ при $n\to \infty$, где предел равномерен по $t\in [0,t_0]$ при каждом фиксированном $t_0>0$.
Замечание. Если функция $G$ (или, как иногда коворят, семейство $(G(t))_{t\geq 0}$) удовлетворяет условиям (CT1)–(CT4), то ее предлагается называть касающейся по Чернову (Chernoff-tangent) оператора $L$. Если же функция удовлетворяет всем условиям теоремы Чернова, то она называется (или оказывается, в зависимости от определения эквивалентности по Чернову, ср. [2] и [4]) эквивалентной по Чернову полугруппе $(e^{tL})_{t\geq 0}$, что означает сходимость $(G(t/n))^nf\to e^{tL}f$. В случае, когда при каждом $t$ оператор $G(t)$ интегральный, равенство $e^{tL}f = \lim_{n\to\infty}(G(t/n))^nf$ и есть формула Фейнмана.
Основной анонсируемый в докладе результат кратко выражается так: если семейство $(S(t))_{t\geq 0}$ состоит из самосопряженных операторов и находится в черновском касании с самосопряженным оператором $H$, то семейство $R(t)=e^{i(S(t)-I)}$ эквивалентно по Чернову полугруппе Шрёдингера $(e^{itH})_{t\geq 0}$. В несколько большей общности это выглядит так.
Теорема 2 [(И. Д. Ремизов, 2014)]. Пусть даны линейный самосопряженный оператор $H\colon \mathcal{F}\supset Dom(H)\to \mathcal{F}$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{F}$ и ненулевое число $a\in\mathbb{R}$. Пусть функция $S$ черновски касается оператора $H$ и $(S(t))^*=S(t)$ для каждого $t\geq 0$. Положим $R(t)=e^{ia(S(|t|)-I)\mathrm{sign}(t)},$ определяя экспоненту суммой ряда (это возможно, поскольку при каждом $t\in\mathbb{R}$ в показателе экспоненты стоят линейные ограниченные операторы в $\mathcal{F}$).
Тогда функция $R$ эквивалентна по Чернову группе $(e^{iatH})_{t\in\mathbb{R}}$ и для каждых $t\in\mathbb{R}$ и $f\in\mathcal{F}$ по норме в $\mathcal{F}$
\begin{equation}\label{FFeyn11} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\left(e^{ia(S(|t/n|)-I)\mathrm{sign}(t)}\right)^n\right)f,\ e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}e^{ian(S(|t/n|)-I)\mathrm{sign}(t)}\right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn31} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\frac{i^ma^mn^m(\mathrm{sign}(t))^m}{m!}(S(|t/n|)-I)^m\right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn31-newt} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\sum_{m=0}^k\sum_{q=0}^m\frac{(-1)^{m-q}i^ma^mn^m(\mathrm{sign}(t))^m}{q!(m-q)!} (S(|t/n|))^q \right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn41} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty}\left[\left(1-\frac{ian\, \mathrm{sign}(t)}{k}\right)I + \frac{ian\, \mathrm{sign}(t)}{k} S(|t/n|)\right]^k\right)f,\end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn41-newt} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty} \sum_{q=0}^k \frac{k!(k-ian\, \mathrm{sign}(t))^{k-q}(ian\, \mathrm{sign}(t))^q}{q!(k-q)!k^k} (S(|t/n|))^q\right) f, \end{equation}

\begin{equation}\label{FFeyn41-newtfull} e^{iatH}f=\left(\lim_{n\to\infty}\lim_{k\to\infty} \sum_{m=0}^k \sum_{q=0}^{k-m} \frac{(-1)^{k-m-q}k!\, (ian\, \mathrm{sign}(t))^{k-q}}{m!q!(k-m-q)!k^{k-q}} (S(|t/n|))^m\right) f. \end{equation}

Символ $|x|$ выше означает модуль действительного числа $x$.
Замечание. Если оператор $S(t)$ интегральный, то $(S(|t/n|))^mf$ — это $m$-кратный интеграл от функции $f$, а представленные выше равенства — это квазифейнмановские формулы. Здесь кратко отметим только три полезных свойства теоремы 2. Во-первых, она позволяет свести решение задачи Коши для уравнения Шрёдингера к построению семейства, касающегося оператора из уравнения теплопроводности (это проще, чем в случае оператора Шрёдингера). Во-вторых, более не требуется контролировать рост нормы аппроксимирующего семейства. В-третьих, метод работает на уровне полугрупп, а, значит, применим к уравнениям с любым пространством координат. Доказательство теоремы 2, замечания к ней и формулировки связанных с ней открытых вопросов см. в статье [3].
Настоящее исследование профинансировано грантом РФФИ 14-41-00044 в ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Список литературы
  1. O. G. Smolyanov, “Feynman formulae for evolutionary equations”, Trends in Stochastic Analysis, London Mathematical Society Lecture Notes Series, 353 (2009)  mathscinet  zmath
  2. Я. А. Бутко, “Формулы Фейнмана для эволюционных полугрупп”, Наука и образование, 2014, № 3
  3. I. D. Remizov, Non-Feynman approximation formulas for the Schrodinger group, arXiv: 1409.8345
  4. Yu. N. Orlov, V. Zh. Sakbaev, O. G. Smolyanov, “Feynman formulas as a method of averaging random Hamiltonians”, Proc. Steklov Inst. Math., 285 (2014), 222–232  mathnet  crossref  zmath  isi  scopus

© МИАН, 2026