Видеотека: Е. Е. Нурмолдин, Б. Б. Ахметов, О правильном порядке поперечников «кодирования» функций из классов $H_{p}^{\omega} \left(0,1\right)$ в лебеговой метрике $L^{q} \left(0,1\right)$

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского 28 мая 2015 г. 17:55, г. Москва, МИАН

О правильном порядке поперечников «кодирования» функций из классов $H_{p}^{\omega} \left(0,1\right)$ в лебеговой метрике $L^{q} \left(0,1\right)$ Е. Е. Нурмолдин, Б. Б. Ахметов Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета имени Л. Н. Гумилёва
Аннотация: Поперечник «кодирования» функций и информативная мощность всех линейных функционалов, по определению, есть соответственно величины $$ \lambda ^{N} \left(F\right)=\inf_{\substack{l_{1}, \ldots, l_{N} \text{ -- все}\\ \text{возможные линейные} \\ \text{функционалы}}} \sup_{\substack{f, g\in F:\;l_{\tau}\left(f\right)= l_{\tau}\left(g\right)\\ \left(\tau =1, \ldots, N\right)}} \left\\| f-g\right\\| _{Y}, $$ $$ \delta _{N} (F)_{Y} \equiv \inf_{\substack{l_{1}, \ldots, l_{N} \text{ -- все}\\ \text{возможные линейные} \\ \text{функционалы,}\, \varphi _{N}}} \ \sup_{f\in F} \left\\| f\left(x\right)-\varphi _{N} \left(l_{1} \left(f\right), \ldots, l_{N} \left(f\right); x\right)\right\\|_{Y}, $$ где $F$ – класс функций на $\left[0,1\right]^{s}$, $Y$ – нормированное пространство, $l_{1}, \ldots, l_{N} $ – линейные функционалы над $F$, $\varphi _{N} \left(z_{1}, \ldots, z_{N}; x\right)\colon R^{N} \times \left[0,1\right]^{s} \to R^{1} $ – алгоритм переработки информации. Двойственное соотношение (здесь оценка снизу $\lambda ^{N}\gg\delta _{N}$ к известной оценке сверху Н. П. Корнейчука принадлежит Ю. В. Малыхину) $\lambda ^{N} \left(F\right)_{Y}\! \asymp\! \delta _{N} \left(F\right)_{Y}$ по решенным (К(В)П-1-задачам) $\delta _{N} \left(F\right)_{Y}\asymp\vartheta _{N}$ позволяет получать неулучшаемые порядковые оценки для $\lambda ^{N} \left(F\right)_{Y}$, если только $\lambda ^{N} \left(F\right)_{Y} \asymp \lambda _{1}^{N} \left(F\right)_{Y}$, где $$ \lambda _{1}^{N} \left(F\right)_{Y} =\sup \left\{\left\\| f\right\\| _{Y} :f\in F,\, l_{\tau }\left(f\right)=0\left(\tau =1, \ldots, N\right)\right\}. $$ Как легко проверить, равенство $\lambda ^{N} \left(F\right)_{Y}=2\lambda _{1}^{N} \left(F\right)_{Y}$ выполнено для класса $$ F=H_{p}^{\omega} \left(0, 1\right)\equiv \left\{f\in L^{p} \left(0, 1\right):\omega _{p} \left(\delta; f\right) \le \omega \left(\delta \right)\left(0\le \delta \le 1\right)\right\}\quad (1\le p\le \infty, \ L^{\infty } \left(0,1\right)\equiv C\left(0, 1\right)), $$ где $\omega _{p} \left(\delta; f\right)$ и $\omega \left(\delta \right)$ – модули непрерывности функции $f$ из $L^{p} \left(0,1\right)$ и в общем определении С. М. Никольского соответственно. Поэтому, применяя результаты из [1], приходим к порядковым соотношениям для поперечника по «кодированию» функций: если $2\le p<q<\infty $ и $\sum_{n=1}^{\infty }n^{\frac{q}{p} -2} \omega ^{q} \left(\frac{1}{n} \right) <\infty$, то $$ \lambda ^{N} \left(H_{p}^{\omega } \right)_{L^{q} } \asymp \left(\sum_{n=N+1}^{\infty }n^{\frac{q}{p} -2} \omega ^{q} \left(\frac{1}{n} \right) \right)^{\frac{1}{q}} $$ и если $2\le p<\infty $ и $\sum_{n=1}^{\infty }n^{\frac{1}{p} -1} \omega \left(\frac{1}{n} \right) <\infty$, то $$ \lambda ^{N} \left(H_{p}^{\omega } \right)_{L^{\infty } } \asymp \sum\limits _{n=N+1}^{\infty } n^{\frac{1}{p}-1} \omega \left(\frac{1}{n} \right). $$ В заключение отметим, что в случае $2\le p<q<\infty$ в $\delta _{N}\! \left(\!H_{p}^{\omega}\! \left(0,1\right)\right)_{L^{q} \left(0,1\right)}$ согласно соответствующему результату П. Л. Ульянова (1964 год), среди всех вычислительных агрегатов наилучше приближают частичные суммы ряда Фурье–Хаара, коэффициенты Фурье которых, без потери порядковой точности, можно вычислять с точностью $\frac{1}{N} \left(\sum _{n=N}^{\infty }n^{\frac{q}{p} -2} \omega ^{q} \left(\frac{1}{n} \right) \right)^{\frac{1}{q}}$, но никак не (порядково) больше (что есть решение задачи К(В)П-2). Список литературы Ш. У. Ажгалиев, Н. Темиргалиев, “Информативная мощность всех линейных функционалов при восстановлении функций из классов $H_p^\omega$”, Матем. сб., 198:11 (2007), 3–20