Видеотека: Н. Ж. Наурызбаев, А. А. Шоманова, Н. Темиргалиев, О восстановлении функций из классов Ульянова «методом Смоляка»

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского 28 мая 2015 г. 17:05, г. Москва, МИАН

О восстановлении функций из классов Ульянова «методом Смоляка» Н. Ж. Наурызбаев, А. А. Шоманова, Н. Темиргалиев Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета имени Л. Н. Гумилёва
Аннотация: Аппроксимативные задачи для функций из периодических классов $F$ с доминирующими смешанными производными тесно связаны с так называемыми «гиперболическими крестами» $\left(\bar{m}_{j} =\max \{\|m_{j} \|;1\} \right)$ \begin{equation} \Gamma=\Gamma_R \equiv \left\{m=\left(m_{1},\dots,m_{s} \right)\in Z^{s} :\bar{m}_1\dots\bar{m}_s \le R\right\}\, \left(R\ge 1\right), \end{equation} образующих «Спектр больших коэффициентов Фурье» этих классов $\left(\varepsilon >0\right)$ $$ \Gamma_{\varepsilon} \left(F\right)=\{m\in Z^{s} :\mathop{\sup}\limits_{f\in F} \left\|\hat{f}\left(m\right)\right\|\ge \varepsilon >0\}, $$ в случае (1) – классов Коробова $E_{s}^{r}$ состоящего из функций $f$ с условием $\|\hat{f}\left(m\right)\|\le \left(\bar{m}_1 \cdots \bar{m}_s \right)^{-r} \; \left(m=\left(m_1,\dots, m_s \right) \in Z^s, r>1\right)$. Эти задачи органически примыкают к основной проблеме «Геометрии чисел», где требуется построить решетку с минимальным значением определителя, пересекающуюся с заданным множеством самое большее по нулевому элементу (см. [1]). В случае «гиперболических крестов» такие задачи тесно связаны с сетками с малыми дискрепансами c порядками убывания $\ll\frac{\ln ^{\beta (s)} N}{N} \,\left(\beta \left(s\right)>0\right)$, которые автоматически приводят к оптимальным коэффициентам, стало быть, к точным в степенной шкале квадратурным формулам с равными весами по сетке Коробова. Как оказалось, существуют сетки узлов с «большими» дискрепансами $\asymp \frac{1}{\ln N}$, но для которых посредством надлежащего выбора весов квадратурные формулы по ним также для классов функций с доминирующими смешанными производными можно сделать оптимальными в степенной шкале (см. [2]–[7]). Такого сорта результаты берут начало в работах Смоляка [4], впоследствии известных под общим названием «Метод Смоляка», где существенные продвижения принадлежат В.Н.Темлякову [5], группе математиков, работающих в области под названием «Information Based Complexity» и др. К классам функций, спектр больших коэффициентов Фурье которых образуют гиперболические кресты, относятся классы Ульянова $U_{s} \left(\beta, \theta, \alpha; \psi \right)$ (см. [3]). Заменой «тензорных произведений классов» из [4] на «тензорные произведения функционалов» в [6] (см. также [3]) получаем новые операторы, которые на классах Ульянова дают близкие к оптимальным порядки восстановления (частично изложено в [7]). Так, если в шкале классов Коробова $E_{s}^{r} \, \left(r>1, s=1,2,\dots\right)$ погрешности восстановления функций по сеткам Коробова с малым дискрепансом $\ll N^{-1} \log ^{\beta \left(s\right)} N$ в степенной шкале имеют скорость убывания не быстрее $\asymp N^{-\frac{r-1}{2}},$ то по сеткам Смоляка с плохим дискрепансом $\asymp \ln ^{-1} N$ имеют неулучшаемую скорость $\asymp N^{-\left(r-1\right)},$ что мы относим к необъяснимому для нас феномену [2]. Заметим, что такие же скорости в степенной шкале для всех классов с доминирующей смешанной производной типа $SW$, $SH$ и $SB$ с дальнейшими уточнениями показателей логарифмов в их числителях. Список литературы N. Nauryzbayev, N. Temirgaliyev, “An Exact Order of Discrepancy of the Smolyak Grid and Some General Conclusions in the Theory of Numerical Integration”, Found Comput Math., 2012, № 12, 139–172 Н. Темиргалиев, “Классы $U_s(\beta,\theta,\alpha;\psi)$ и квадратурные формулы”, Докл. РАН, 393:5 (2003), 605–608 С. А. Смоляк, “Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций”, Докл. АН СССР, 148:5 (2003), 1042–1045 В. Н. Темляков, “Приближенное восстановление периодических функций нескольких переменных”, Матем. сб., 128(170):2(10) (1985), 256–268 Н. Темиргалиев, “Тензорные произведения функционалов и их применения”, Докл. РАН, 430:4 (2010), 460–465 Н. Темиргалиев, Н. Ж. Наурызбаев, А. А. Шоманова, “Аппроксимативные возможности вычислительных агрегатов “Типа Смоляка” с ядрами Дирихле, Фейера и Валле-Пуссена в шкале классов Ульянова”, Известия вузов. Математика, 2015, № 7, 75–81