Аннотация:
Рассмотрим задачу о точной константе в теореме вложения
\begin{equation}\label{N251:problem}
\lambda(r,k)=\min\ \frac{\Vert f^{(r)}\Vert_{L_2\left[ -1,1\right] }}
{\Vert f^{(k)}\Vert _{L_\infty\left[-1,1\right] }},
\end{equation}
где $r,k\in\mathbb{Z}_+$, $r>k$, минимум берется
$f\in{\stackrel{\circ}{W}}\vphantom{W}_2^r(-1,1)$, т.е. по множеству
$$
\big\{f\in{\cal AC}^{r-1}[-1,1]\,\big|\,
f^{(r)}\in L_2(-1,1);\quad f^{(j)}(\pm1)=0,\ j=0,1,\dots,r-1.\big\}
$$
Эта задача при $k=0,1,2$ и произвольных $r>k$ рассматривалась Г.А.Калябиным в работе [1] (см. также [2]). Кроме точных констант,
в [1] была установлена симметрия (чëтность) экстремали при $k=0,2$ и асимметрия при $k=1$.
Мы устанавливаем следующий результат:
Теорема.
1. Если $k$ нечетное, то при всех $r>k$ экстремаль в задаче \eqref{N251:problem}
симметрией не обладает.
2. Если $k$ четное, то при всех $r>k$ чeтная функция дает функционалу
\eqref{N251:problem} локальный минимум.
При $k=4,6$ получен окончательный результат: доказано, что при всех $r>k$ экстремаль в задаче
\eqref{N251:problem} – чeтная функция, и вычислены точные константы.
Доклад основан на совместной статье с А. И. Назаровым [3].
Работа поддержана Лабораторией им. П.Л. Чебышева СПбГУ, грант Правительства РФ дог. 11.G34.31.0026
и грантом СПбГУ 6.38.670.2013.
Список литературы
-
Г. А. Калябин, “Точные оценки для функций класса ${\stackrel{\circ}{W}}\vphantom{W}_2^r(-1,1)$”, Труды МИАН, 269 (2010), 143–149
   -
K. Watanabe, Y. Kametaka, H. Yamagishi, A. Nagai, K. Takemura, “The best constant of Sobolev inequality corresponding to clamped boundary value problem”, Article ID 875057, Bound. Value Probl., 2011, 17 pp.
-
Е. В. Мукосеева, А. И. Назаров, “О симметрии экстремали в некоторых теоремах вложения”, Записки научных семинаров ПОМИ, 425 (2014), 35–45
|
