Видеотека: О. А. Матевосян, Задача Стеклова для бигармонического уравнения в неограниченных областях

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского 27 мая 2015 г. 15:45, г. Москва, МИАН

Задача Стеклова для бигармонического уравнения в неограниченных областях О. А. Матевосян^ab ^a Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) ^b Высшая школа науки
Аннотация: В области $\Omega$ рассматривается задача Стеклова $$ \Delta^2 u(x)=0, ~x\in\Omega, \qquad u\|_{\partial\Omega}=\left.\left(\Delta u+\tau\frac{\partial u}{\partial \nu}\right)\right\|_{\partial\Omega}=0, $$ $\nu$ – направление внешней нормали к $\partial\Omega$, $\tau\in C(\partial\Omega)$. Условием, характеризующим поведение решения на бесконечности, является ограниченность интеграла Дирихле $ D_a(u, \Omega):=\int_\Omega\|x\|^a\sum_{\|\alpha\|=2}\|\partial^{\alpha} u(x)\|^2dx<\infty$ с весом $\|x\|^a, a\in{\mathbb R}^{1}$, $\|x\|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$. I. Пусть $\Omega={\mathbb R}^n\setminus G$ с границей $\partial\Omega\in C^2$, где $G$ – ограниченная односвязная область в ${\mathbb R}^{n}$ $(n>4)$, $0\in G$. Теорема. Задача Стеклова с условием $D_a(u, \Omega)< \infty$ имеет: (i) $n+1$ линейно независимых решений, если $-n\le a<n-4$; (ii) $n$ линейно независимых решений, если $n-4\le a<n-2$; (iii) лишь тривиальное решение, если $n-2\le a<\infty$; (iv) $k(r, n)$ линейно независимых решений при $-2r+2-n\le a<-2r+4-n$, $r>1$, где $k(r, n)=\frac {(r+n)!}{n!r!}-\frac{(r+n-4)!}{n!(r-4)!}$. II. Пусть $\Omega\equiv\mathbb R_{+}^{n}=\{x = (x^{\prime},x_{n})\in\mathbb R^{n}: x^{\prime}\in\mathbb R^{n-1}, x_{n}>1\}$ с границей $\partial\Omega=\{x=(x^{\prime},x_{n})\in\mathbb R^{n}: x_{n}=1\}$, $n\ge 2$. Теорема. Задача Стеклова с условием $D_a(u, \Omega)< \infty$ имеет: (i) тривиальное решение, если $-n\le a<\infty$; (ii) $k(r, n)$ линейно независимых решений при $-2r+2-n\le a<-2r+4-n$, $r>1$, где $k(r, n)=\frac {(r+n)!}{n!r!}-\frac{(r+n-4)!}{n!(r-4)!} -\frac{(r+n-1)!}{(n-1)!r!} -\frac{(r+n-2)!}{(n-1)!(r-1)!}$. Список литературы Stekloff W., “Sur les problèmes fondamentaux de la physique mathématique”, Annales Sci. de l'E.N.S. $3^{e}$ série, 19 (1902), 191–259 ; 455–490