Аннотация:
Если функция $q$ мероморфна в области $\Omega\subset\mathbb{C}$, то говорят, что оператор $L=-\partial^2+q\ (\partial= d/{dz})$ имеет тривиальную монодромию или безмонодромен в области $\Omega$, если любое решение $y(z,\lambda)$ уравнения $-y''+qy=\lambda y$ при любом значении параметра $\lambda$ является однозначной функцией $z\in\Omega$. При этом сам потенциал $q$ также называют безмонодромным.
Рассмотрим оператор $L_0=-\partial^2+q_0,$ с потенциалом $q_0(z)$, аналитичным в односвязной области $\Omega$. Если $f$ — некоторое решение уравнения Риккати $f'+f^2=q_0-\lambda_0$, то выражение $L_0$ допускает факторизацию: $L_0=Q^*Q+\lambda_0,$ где $Q=-\partial+f,\ Q^*=\partial+f.$ Пусть $L_1:=QQ^*=-\partial^2+q_1,$ где $q_1=q_0-2f'-\lambda_0$. Если $f=\varphi_0'/\varphi_0,$ то $Q\varphi_0=0,$ следовательно, $L_0\varphi=\lambda_0\varphi$. При этом оператор $L_1$ и соответствующий потенциал $q_1=q_0-2(\ln\varphi)''-\lambda_0$ называют преобразованием Дарбу оператора $L_0$ (или потенциала $q_0$) на уровне $\varphi_0$. Поскольку для любого (аналитичного в $\Omega$) решения $\psi$ уравнения $L_0\psi=\mu\psi$ функция $\chi=Q\psi$, мероморфная в $\Omega$, является решением уравнения $L_1u=(\mu-\lambda_0)u,$ то потенциал $q_1$ безмонодромен в $\Omega$. Ясно, что то же самое верно и для $D_n(q_0)$ — результата $n$ итераций преобразований Дарбу на некоторых уровнях $\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_{n-1}$.
Пусть $\Omega $ — односвязная область, $\mathcal{O}(\Omega)$ и $TM(\Omega)$ — множество соответственно аналитичных и безмонодромных в $\Omega$ функций, $B\subset\mathcal{O}(\Omega)$, $D(B,\Omega)=\{q$: существуют $q_0\in B$ и $D_n$ такие, что $q=D_n(q_0)\}$. Тогда сказанное выше означает, что при любом $B\subset \mathcal{O}(\Omega)$ $D(B,\Omega)\subset TM(\Omega)$. В [1] было доказано, что если $\Omega=\mathbb{C}$ и $B=\{0\}$, то верно и обратное включение: $TM(\mathbb{C})=D(\{0\},\mathbb{C})$. Впоследствии (см. [2]) этот результат был распространен на класс $B=\{az^2+bz+c,\ a,b,c\in\mathbb{C},\ a\neq0\}$. Но оказалось, для $B=\{z^6+\nu z^2,\ \nu\in \mathbb{Z}\}$ равенство $TM(\mathbb{C})= D(B,\mathbb{C})$ неверно (см. [3]).
В связи со сказанным возникает вопрос: для каких областей $\Omega$ и каких классов $B\subset\mathcal{O}(\Omega)$ верно равенство $D(B,\Omega)= TM(\Omega)$?
Справедлива
Theorem.
Пусть функция $q(z)$ мероморфна в выпуклой области $\Omega\subset\mathbb{C}$. Тогда для того, чтобы функция $q$ принадлежала $TM(\Omega)$ необходимо и достаточно, чтобы для любой ограниченной области $\omega$, такой, что $\overline{\omega}\subset \Omega, \quad q\in D(\mathcal{O}(\omega),\omega)$.
Работа поддержана Министерством образования и науки РФ (грант № 01201456408) и РФФИ (грант № 15-01-01095).
Список литературы
-
J. J. Duistermaat, F. A. Grünbaum, “Differential equations in the spectral parameter”, Commun. Math. Phys., 103 (1986), 177–240
     -
А. А. Обломков, “Безмонодромные операторы Шредингера с квадратично растущим потенциалом”, ТМФ, 121:3 (1999), 374–386
 -
J. Gibbons, A. P. Veselov, “On the rational monodromy-free potentials with sextic growth”, J. Math. Phys., 50:1 (2009), 013513
|
