| RUS ENG |
| Полная версия |
|
|
|
| ВИДЕОТЕКА |
|
|
|||
|
О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам А. Ж. Жубанышева, Ш. К. Абикенова Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилёва |
|||
|
Аннотация: В ряде вопросов теории приближений полезной оказывается следующая (случай Лемма. Пусть даны целые положительные числа $$ \psi_k\left(x\right)=\prod_{j=1}^{s}\omega \left(4n\left(x_j-\frac{k_j}{4n}\right)\right), \left(k\in A_N\equiv \left\{k=\left(k_1,\dots,k_s\right)\in Z^s,0\le k_j\le 4n-1\; \left(j=1,\dots,s\right)\right\}\right). $$ Тогда для всякого набора линейных функционалов \begin{gather*} \|B_N^{(\lambda_1,\dots,\lambda_s)}\| _{L^p(0,1)^s}\succ\prec N^{\frac{\lambda_1+\dots+\lambda_s}{s}-\frac{1}{p}} \biggl(\sum_{k\in A_N}|b_k|^p\biggr)^{\frac{1}{p}} \ \text{при} \ 1\leq p<\infty, \\ \|B_N^{(\lambda_1,\dots,\lambda_s)}\|_{L^p(0,1)^s}\succ\prec N^{\frac{\lambda_1+\dots+\lambda_s}{s}+1}, \quad p=\infty. \end{gather*} В качестве следствия при \begin{gather*} \lambda^N(W_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s}\equiv \inf_{\substack{l_1, \dots, l_N\text{ - всевозможные} \\ \text{линейные функционалы}}} \sup_{\substack{f\in W_p^r(0,1)^s \\ l_{\tau}(f)=0, \\ (\tau =1,\dots,N) }}\|f\|_{L^q(0,1)^s} \\ \ll\begin{cases} N^{-\frac{r}{s} +\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q}\right)},&\text{если}\ 2\le p\le q\le \infty,\\ N^{-\frac{r}{s} +\frac{1}{2} -\frac{1}{q}},&\text{если}\ 1\le p<2\le q\le +\infty,\\ N^{-\frac{r}{s}},&\text{если}\ 1\le p\le q< 2. \end{cases} \end{gather*} Еще одним следствием является другое доказательство порядковых соотношений для поперечников по Колмогорову функциональных классов, в которых основной метод решения заключается в редуцировании к конечномерным задачам о поперечниках обобщенных конечномерных октаэдров (порядковые соотношения для поперечников по Колмогорову при различных соотношениях параметров получены в работах В. М. Тихомирова, Р. С. Исмагилова, Б. С. Кашина, Ю. И. Маковоза, М. Ш. Бирмана, М. З. Соломяка, В. Н. Темлякова, Э. М. Галеева, Е. Д. Куланина и др.). Здесь же, применением принципа двойственности для поперечников по Колмогорову $$ 2\lambda^N(\tilde{W}_{q'}^r(0,1)^s)_{L^{p'}(0,1)^s}=d_N(\tilde{W}_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s} \succ \prec N^{-\frac{r}{s} +\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q}\right)} \, \left(\frac{1}{\theta} +\frac{1}{\theta '} =1\right). $$ Список литературы
|
|||
