RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА
Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
25 мая 2015 г. 17:05, г. Москва, МИАН

Об обратной задаче о резонансах для оператора Шредингера на полуоси

В. Л. Гейнц

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Аннотация: Пусть $SE(\gamma)$, $\gamma > 0$ – пространство, состоящее из всех измеримых функций $q\colon[0,\infty)\to \mathbb{C}$ таких, что
$$ \Vert q\Vert_{SE(\gamma)}:=\int_{0}^{\infty}|q(x)|\exp(x^{\gamma}) dx < \infty. $$

Рассматривается одномерное уравнение Шрёдингера
\begin{equation*} \label{N424:eq_SchroedEV} -y''(x) + q(x) y(x) = z^2 y(x), \qquad x\in [0,\infty),\quad z\in \mathbb{C}, \quad q\in SE(\gamma), \quad \gamma > 1. \end{equation*}

Пусть $\psi_q(z) = y_q(0,z) = 1 + \int_{0}^{\infty}K_{q}(0, t)\exp(izt)dt$, где $K_{q}(x,t)$ – ядро оператора преобразования [N424:Marchenko], а $y_q(x,z)$ – решение Йоста. Тогда $\psi_q(z)$ есть целая функция порядка, не превосходящего $\rho(\gamma)\le \frac{\gamma}{\gamma - 1}$. Нули этой функции, лежащие в нижней полуплоскости, называются резонансами оператора Шредингера. Множество всех нулей функции $\psi_q$ (с учетом кратности) определяет потенциал $q$ однозначно.
В работе [N424:Marletta] рассматривается задача об устойчивости восстановления потенциала $q$ с компактным носителем по резонансам из круга $|z| < R$. В данной работе обобщены результаты [N424:Marletta].
Теорема. Существуют такие положительные константы $R_0=R_0(\gamma, N)$, $C_0=C_0(\gamma, N)$, $\alpha=\alpha(\gamma)$, что при всех $R > R_0$ из совпадения в круге $|z| < R$ нулей функций Йоста $\psi_1(z)$ и $\psi_2(z)$ для потенциалов $q_1,q_2$, удовлетворяющих условию
\begin{equation*} \Vert q_j\Vert_{SE(\gamma)}\le N, \end{equation*}
следует, что для всех $z$ из круга $|z| < R^{\alpha}$
\begin{equation*} |\psi_2(z) - \psi_1(z)| < C_0 R^{-\alpha}. \end{equation*}

Теорема. Существуют положительные константы $R_1$, $C_1$, зависящие от $\gamma, \ p\in (1,2], \ N, \ M$, и константа $\beta$, зависящая от $\gamma$ и $p$, такие, что при всех $R > R_1$ из совпадения в круге $|z|<R$ нулей функции Йоста $\psi_1(z)$ и $\psi_2(z)$ для потенциалов $q_1,q_2$, удовлетворяющих условию
\begin{equation*} \Vert q_j\Vert_{SE(\gamma)}\le N, \Vert q_2 - q_1\Vert_{L^p[0,\infty)} \le M, \end{equation*}
следует, что
\begin{equation*} \sup_{x\ge 0}\left|\int_{x}^{\infty}(q_2(s) - q_1(s))ds\right| \le C_1R^{-\beta}. \end{equation*}


Список литературы
  1. В. А. Марченко, Спектральная теория операторов Штурма–Лиувилля, Наукова Думка, Киев, 1972  mathscinet
  2. M. Marletta, R. Shterenberg, R. Weikard, “On the inverse resonance problem for Schrodinger operators”, Comm. Math. Phys., 295:2 (2010), 465–484  crossref  mathscinet  isi  scopus

© МИАН, 2026