Видеотека: В. В. Власов, Н. А. Раутиан, Спектральный анализ и корректная разрешимость гиперболических вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского 28 мая 2015 г. 14:30, г. Москва, МИАН

Спектральный анализ и корректная разрешимость гиперболических вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений В. В. Власов, Н. А. Раутиан Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация: Исследуются интегро-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Главная часть рассматриваемых уравнений представляет собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное суммами вольтерровых интегральных операторов. Указанные абстрактные интегро-дифференциальные уравнения могут рассматриваться как операторные модели задач, возникающих в линейной теории вязкоупругости, теории усреднений, теплопроводности в средах с памятью и т.д. Примером конкретной актуальной проблемы является задача для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных линейной теории вязкоупругости: $$ \rho \ddot u(x,t) - (L_1+L_2)u(x,t) + \int_0^t K_1(t - s)L_1u(x,s)\,ds+\int_0^t K_2(t - s)L_2u(x,s)\,ds=f(x,t), $$ где $u = \vec u(x,t) \in {\mathbb{R}^3}$ – вектор перемещений вязкоупругой наследственной среды, $t>0$, $x \in \Omega \subset {\mathbb{R}^3}$ – ограниченная область с гладкой границей, вектор $u$ удовлетворяет условию Дирихле на границе области $\Omega $, $L_1u = \mu \cdot (\Delta u + \mathrm{grad}\,\mathrm{div}u)$, $L_2u =\lambda \cdot \mathrm{grad}\,\mathrm{div}u$, $\lambda$, $\mu$ – постоянные коэффициенты Ламе, $L=L_1+L_2$ – оператор Ламе теории упругости, ${K _1}$, ${K _2}$ – функции релаксации памяти, представляющие собой ряды убывающих экспонент с положительными коэффициентами, характеризующие наследственные свойства среды. Установлена локализация и структура спектра оператор-функций, являющихся символами указанных интегро-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Получены результаты о корректной разрешимости эти уравнений в весовых пространствах Соболева вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве, заданных на положительной полуоси. Полученные результаты являются естественным обобщением и развитием результатов, опубликованных в работах [1], [2]. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 14-11-00754). Список литературы В. В. Власов, Н. А. Раутиан, “Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений”, Труды семинара им. И. Г. Петровского, 28 (2011), 75–113 V. V. Vlasov, N. A. Rautian, “Spectral analysis and representations of solutions of abstract integro-differential equations in Hilbert space”, Concrete operators, spectral theory, operators in harmonic analysis and approximation, Oper. Theory Adv. Appl., 236, Birkhäuser/Springer, Basel, 2013, 517–535