Видеотека: В. Е. Владыкина, О свойствах собственных функций задачи Штурма--Лиувилля с сингулярным потенциалом и весом

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского 28 мая 2015 г. 17:05, г. Москва, МИАН

О свойствах собственных функций задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом и весом В. Е. Владыкина Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация: В работе изучается задача Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом и положительным весом: \begin{equation} \label{N428:1} -y''(x)+q(x)y(x)=\lambda ^2 \rho (x) y(x), \qquad y(0)=y(1)=0, \end{equation} где $q \in W_2^{-1}[0;1]$, $\rho \in BV [0;1]$, $m \leq \rho(x) \leq M$ при некоторых положительных $m$ и $M$. В классическом случае, когда потенциал $q$ суммируемый, а вес $\rho \in C^2[0;1]$, задача хорошо изучена. При $q\in W_2^{-1}[0;1]$, $\rho\equiv 1$ эта задача была корректно поставлена и изучена в работе Савчука и Шкаликова [1]. Для рассматриваемых весов $\rho\in AC [0;1]$ задача (1) не сводится к уже рассмотренным случаям заменой и требует отдельного изучения. В работе получены асимптотические фомулы для фундаментальных решений, собственных функций и собственных значений задачи (1). Теорема 1. Пусть $\rho \in AC[0;1]$. Тогда в области $\{\mathrm{Re}\,\lambda >-\lambda_0 \}$ фундаментальные решения задачи (1) имеют вид $$ y_1= e^{i\lambda h t}(e^{\Phi}+o(1)), \qquad y_2= e^{-i\lambda h t}(e^{\Phi}+o(1)) \quad \text{при}\quad \| \lambda \| \to\infty, $$ где $$ t=\frac{1}{h}\int_0^x \sqrt{\rho (\xi)}\,d\xi ,\quad h=\int_0^1 \sqrt{\rho (\xi)}\,d\xi, \quad \Phi=\frac{1}{2}\int_0^t \phi (\xi)\,d \xi, \quad \phi = -\frac{\rho '(t)}{2\rho(t)}. $$ Также верна Теорема 2. Собственные функции задачи (1) при $\rho\in AC [0;1]$ в области $\{\mathrm{Re}\,\lambda >-\lambda_0\}$ имеют вид $$ y_k=e^{\Phi (t)}\sin {\pi k t}+o(1) \quad \text{при } k \to\infty. $$ Если же $\rho$ — функция ограниченной вариации, то для собственных функций задачи (1) верны оценки $$ \\|y_n\\|_{C[0;1]}\leq C(\rho) \\|y_n\\|_{L_p[0;1]}, \quad \forall\,p\geq 1. $$ Работа выполнена при поддержке РНФ, грант № 14-11-00754. Список литературы А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, “Операторы Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами”, Матем. заметки, 66:6 (1999), 897–912 ; Math. Notes, 66:6 (1999), 741–753