Видеотека: Г. С. Бердников, О необходимом условии ступенчатой функции, порождающей ортогональный КМА на группе Виленкина

ВИДЕОТЕКА


Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского 28 мая 2015 г. 15:20, г. Москва, МИАН

О необходимом условии ступенчатой функции, порождающей ортогональный КМА на группе Виленкина Г. С. Бердников Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Аннотация: Пусть $p$ – простое число. Мы рассматриваем кратномасштабный анализ на локально-компактных группах Виленкина $$ \mathfrak{G}=\{x=(\dots,0,0,\dots,0,x_n,x_{n+1},\dots)\|\forall\, n\in\mathbb{Z},\forall\, x_i=\overline{0,p-1},x_n\neq 0\}. $$ На группе определена операция покоординатного сложения по модулю $p$ и она может быть представлена в виде $\mathfrak{G}=\bigcup_n \mathfrak{G}_n$, где $$ \mathfrak{G}_n=\{x=(\dots,0,0,\dots,0,x_n,x_{n+1},\dots)\| n\in\mathbb{Z},\forall x_i=\overline{0,p-1},x_n\neq 0\}, $$ и выполняется вложение $$ \dotsb\supset\mathfrak{G}_{-n}\supset \dots\supset\mathfrak{G}_0\supset\mathfrak{G}_1\supset \dots\supset\mathfrak{G}_n\supset \dotsb $$ Также мы рассматриваем аннуляторы $\mathfrak{G}_n^\bot$ – множества характеров, обращающих группы $\mathfrak{G}_n$ в единицу. Для построения кратномасштабного анализа на $L_2(\mathfrak{G})$ необходимо найти масштабирующую функцию $\varphi(x)$, которая является решением масштабирующего уравнения. для преобразования Фурье $\hat\varphi(\chi)$ которой выполняется условие $$ \hat\varphi(\chi)=m_0(\chi)\hat\varphi(\chi A^{-1}), $$ где $A$ – оператор растяжения, а функция $m_0(\chi)$ называется маской. Ю. Фарков [2] нашел необходимые и достаточные условия на масштабирующую функцию, при которых она порождает кратномасштабный анализ на группах Виленкина. Но в его работах нет алгоритма построения такой масштабирующей функции. В данной работе исследование этого вопроса ведется в терминах, пригодных для создания такого алгоритма. Мы будем рассматривать функции $\hat\varphi(\chi)\in\mathfrak D_{-N}(\mathfrak G^\bot_M)$, то есть постоянные на смежных классах вида $G^\bot_{-N}\zeta$ и с компактным носителем $\mathrm{supp}(\hat\varphi(\chi))\subset\mathfrak G^\bot_M$. Тогда возможно сформулировать необходимое условие для такой функции, порождающей ортогональный КМА на группе Виленкина, выраженное в терминах теории графов. В работе [1] было выяснено, что маска $m_0(\chi)$ такой функции обладает следующими свойствами: 1) $m_0(\chi)$ постоянна на смежных классах вида $\mathfrak G^\bot_{-N}\zeta$. 2) $m_0(\chi)$ периодична с любым периодом $r_1^{\alpha_1}r_2^{\alpha_2}\dots r_s^{\alpha_s}$, где $\alpha_i=\overline{0,p-1}$. 3) $m_0(\mathfrak G^\bot_{-N})=1$. Укажем способ построения ориентированного графа по масштабирующей функции. Алгоритм. 1) Пусть вершины графа имеют вид $\overline\alpha^j=(\alpha^j_i)_{i=1}^N$. Множество всех вершин графа будем обозначать $\{\overline\alpha^j\}$. 2) Пусть $\hat\varphi(\mathfrak G^\bot_{-N} r_{-N}^{\alpha_{-N}}r_{-N+1}^{\alpha_{-N+1}}\dots r_{0}^{\alpha_{0}}\dots r_{s-1}^{\alpha_{s-1}})\neq 0$, где $s\leq M$. Это условие, пользуясь равенством $$ \hat\varphi(\chi)=\prod_{n=0}^\infty m_0(\chi A^{-n}), $$ периодичностью маски и переобозначением $$ m_0(\mathfrak G^\bot_{-N} r_{-N}^{\alpha_{-N}}r_{-N+1}^{\alpha_{-N+1}}\dots r_{0}^{\alpha_{0}})=\lambda_{\alpha_{-N},\alpha_{-N+1},\dots,\alpha_{0}}, $$ можно переписать в виде: $$ \hat\varphi(\mathfrak G^\bot_{-N} r_{-N}^{\alpha_{-N}}r_{-N+1}^{\alpha_{-N+1}}\dots r_{0}^{\alpha_{0}}\dots r_{s-1}^{\alpha_{s-1}})=\lambda_{\alpha_{-N},\alpha_{-N+1},\dots,\alpha_{0}}\lambda_{\alpha_{-N+1},\alpha_{-N+2},\dots,\alpha_{1}}\dots $$ $$ \dots\lambda_{\alpha_{s-N-1},\alpha_{s-N},\dots,\alpha_{s-1}} \lambda_{\alpha_{s-N},\alpha_{s-N+1},\dots,\alpha_{s-1},0}\dots\lambda_{\alpha_{s-1},0,\dots,0}\neq 0. $$ Неравенство нулю выполняется только в том случае, если все значения маски $\lambda_{\alpha_{i-N},\dots,\alpha_{i}},$ участвующие в данном произведении, отличны от нуля. Для каждого такого $\lambda$ мы строим дугу $$ (\alpha_{i-N},\alpha_{i-N+1}\dots,\alpha_{i-1})\to(\alpha_{i-N+1},\alpha_{i-N+2},\dots,\alpha_{i}). $$ 3) Перебирая все смежные классы, на которых преобразование Фурье $\hat\varphi(\chi)$ отлично от нуля и производя аналогичные операции, мы получаем орграф $\Gamma$, в котором каждая дуга соответствует ненулевому значению маски. Теорема. Пусть $\varphi(x)$ – масштабирующая функция, причем $\hat\varphi(\chi)\in\mathfrak D_{-N}(\mathfrak G^\bot_M)$. Тогда орграф $\Gamma$, построенный по алгоритму 1, обладает следующими свойствами: 1) Если имеется дуга $\overline\alpha^j\rightarrow\overline\alpha^k$, это означает, что $N-1$ последняя компонента $\overline\alpha^j$ совпадает с первыми $N-1$ компонентами $\overline\alpha^k$. Иными словами $\forall\,i=\overline{1,N-1}$, $\alpha^j_{i+1}=\alpha^k_i$. 2) Из любой вершины орграфа, отличной от $\overline 0=(0,0,\dots,0)$, есть путь в вершину $\overline 0$. 3) Граф не содержит контуров, то есть замкнутых путей. 4) Из вершины $\overline 0$ не исходит дуг. Список литературы Lukomskii S.F., “Step refinable functions and orthogonal MRA on p-adic Vilenkin groups”, JFAA, 20:1 (2014), 42–65 Фарков Ю.А., “Ортогональные вейвлеты на прямых произведениях циклических групп.”, Матем. заметки, 2007, 934–952