Аннотация:
Проблема состоит в следующем: описать структуру множества $ E $, принадлежащего компакту $ K $ комплексной плоскости, для которого существует последовательность полиномов, равномерно ограниченная на $ K $, сходящаяся поточечно на $ E $ и расходящаяся вне $ E $.
Компакт $ K $ не разбивает комплексной плоскости в том смысле, что $ \mathbb{C}\setminus K $ состоит из одной области, содержащей бесконечно удаленную точку.
Рассматриваемая проблема примыкает к проблеме П. М. Монтеля о харрактеристике иррегулярных точек и описания функций, представимых сходящейся последовательностью полиномов.
Некоторые результаты в этом направлении получены М. А. Лаврентьевым, М. В. Келдышем, С. Н. Мергеляном, С. В. Колесниковым,
В. А. Беляевым (см., например, [1]–[6]).
Введем некоторые обозначения: $ \partial K $ – граница $ K $, $ O\left ( \partial K \right ) $ – совокупность ограниченных, связных составляющих $ \mathbb{C}\setminus \partial K $. Через $ \left \{ B \right \} $ обозначим совокупность всех тех областей из $ O\left ( \partial K \right ) $, каждая из которых полностью принадлежит $E$,
а $ \left \{ G \right \}=O\left ( \partial K \right )\setminus \left \{ B \right \} $.
Теорема.
Для того, чтобы существовала последовательность полиномов равномерно ограниченная на $ K $,
которая поточечно сходится на $ E $, $ E\subset K $, и расходится в каждой точке $ \mathbb{C}\setminus E $
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1. $ E $ – типа $ F_{\sigma \delta } $
2. $\omega \left ( E\cap \partial G_{m},G_{m},z \right )=0, \forall G_{m}\in \left \{ G \right \} $, где $ \omega \left ( E\cap \partial G_{m},G_{m},z \right ) $ – гармоническая мера
3. $ \sum \left ( 1-\left | \varphi \left ( z_{n} \right ) \right | \right )< \infty ,\forall G_{m}\in \left \{ G \right \} $
где $ w = \varphi_{m}\left ( z \right ) $ конформное и однолистное отображение области $ G_{m} $ на круг $ \left | w \right |< 1 $, а суммирование берется по всем точкам множества $ E\cap G_{m} $.
Следствие.
Пусть $ \mathring{K}\subset E\subset K $, где $ \mathring{K} $ – множество внутренних точек $ K $. Для того, чтобы существовала последовательность полиномов, равномерно ограниченная на $ K $, которая поточечно сходится на $ E $ и расходится в каждой точке $ \mathbb{C}\setminus E $, необходимо и достаточно, чтобы $ E $ имело тип $ F_{\sigma \delta } $.
Список литературы
-
P. M. Montel, “Lecons sur les series de polinomes d'une variable complexe”, Collect. Borel, 1 (1910), 1–128
-
M. A. Lavrentieff, “Sur les fonctions d'une variable complexe representatles par des series de polinomes”, Actual. sci. et. industr., 441 (1936), 1–62
-
Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Гостехиздат, Москва, 1952
-
С. Н. Мергелян, “О некоторых классах множеств и их приложениях”, Некоторые проблемы математики и механики, 1961, 133–172
-
С. Н. Мергелян, А. А. Даниелян, “О последовательностях полиномов, сходящихся на множествах типа $ F_{\sigma}$”, ДАН Арм ССР, 1988, 54–56
 -
В. А. Беляев, “Описание структуры множества полиномиальной сходимости в комплексной плоскости”, ДАН АНСССР, 1990, 1296–1298
|
