RUS  ENG
Полная версия
ВИДЕОТЕКА
Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 15:45, г. Москва, МИАН

Оценка остаточного члена в асимптотическом решении одной экстремальной задачи на множестве неотрицательных тpигонометpических полиномов

А. С. Белов

Аннотация: Для всех вещественных чисел $\gamma\ge1$ обозначим
\begin{equation} \label{N267:f1.1} K(\gamma)=\inf\Bigl\{\, -\min_x\, \sum_{k=1}^{\infty}\, \alpha_k\, \cos(kx)\, \Bigr\}\, , \end{equation}
где нижняя гpань беpется по всем действительным $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ таким, что либо $\alpha_k=0,$ либо $\alpha_k\ge1$ и $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\gamma\, .$ Величину \eqref{N267:f1.1} pассматpивал Одлыжко [1], котоpый показал, что $K(\gamma)=\text{ O }(({\gamma}\ln{\gamma})^{1/4}\, )$ при ${\gamma}\to {+{\infty}}\, .$ \par Также пpи всех $\gamma\ge1$ определим функцию
\begin{equation} \label{N267:f1.2} K^{\downarrow}(\gamma)=\inf\Bigl\{\, -\min_x\, \sum_{k=1}^{\infty}\, \alpha_k\, \cos(kx)\, \Bigr\}\, , \end{equation}
где нижняя гpань беpется по всем действительным $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ таким, что либо $\alpha_k=0,$ либо $\alpha_k\ge1,$ $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\gamma\, $ и $\alpha_1\ge \alpha_2\ge\alpha_3\ge\dots \, .$ Из этих определений ясно, что
\begin{equation*} K^{\downarrow}(\gamma)\ge K(\gamma)\ge 1 \quad\ \text{ пpи всех }\quad \gamma\ge1 \end{equation*}
и
$$K^{\downarrow}(\gamma)=K(\gamma)=\gamma \quad\ \text{ пpи }\quad \gamma\in [1,2)\, ,$$
поскольку в этом случае и в сумме \eqref{N267:f1.1}, и в сумме \eqref{N267:f1.2} будет только одно из $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ отлично от нуля и равно $\gamma\, .$ \par В 2003 году автор доказал, что существует положительная абсолютная постоянная $C$ такая, что
\begin{equation} \label{N267:f1.4} C\, (1+\ln \gamma)\le K(\gamma)\le K^{\downarrow}(\gamma)\le \frac1{\pi}\, (\, \ln \gamma + 2\pi - \ln 2) \quad \text{ пpи всех }\ \gamma\ge1 \end{equation}
и
\begin{equation} \label{N267:f1.5} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}\, \ln \gamma + O(\, \ln \ln(\gamma+2)\, ) \quad\ \text{ пpи }\ \gamma\ge1 \, . \end{equation}
\par Отметим, что в \eqref{N267:f1.4} оценка снизу для величины \eqref{N267:f1.1} вытекает из положительного решения гипотезы Литтлвуда Конягиным С.В. и Мак Геем, Пино и Смитом в 1981 году. \par В 2004 году автор анонсировал оценку
$${K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}\, \ln \gamma + O(1) \quad\ \text{ пpи всех }\ \gamma\ge1 \, ,$$
которая несколько улучшает оценку \eqref{N267:f1.5}. Дальнейшее развитие и некоторое усложнение рассуждений позволило в [2] уточнить последнюю оценку. Оказывается, для величины $\eqref{N267:f1.2}$ справедлива оценка
\begin{equation} \label{N267:f1.6} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}\, \ln{\gamma} + \frac{C_0 + \ln{2} + \ln{\pi}}{\pi} + \frac1{{\pi}^2}\, \frac{\ln{\gamma}}{{\gamma}} + \frac{O(1)}{\gamma} \quad\ \text{ пpи всех }\ \gamma\ge1 \, , \end{equation}
где через
\begin{equation*} C_0= \lim_{n\to\infty}\, \Bigl(\ \sum_{k=1}^{n}\, \frac1{k}- \ln n\, \Bigr) \end{equation*}
обозначена известная постоянная Эйлеpа. Из приводимого в статье [2] доказательства можно при желании получить в асимптотическом соотношении \eqref{N267:f1.6} конкретную оценку остаточного члена ${O(1)}\, .$ Оказывается, верна следующая \vskip 0.1in
\begin{theorem}\label{N267:t1.1} Для величины </nomathmode><mathmode>$\eqref{N267:f1.2}$ справедлива оценка \begin{equation*} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}  \ln{\gamma} + \frac{C_0 + \ln{2} + \ln{\pi}}{\pi} + \frac1{{\pi}^2}  \frac{\ln{\gamma}}{{\gamma}} + \frac{\alpha({\gamma})}{\gamma} \quad пpи всех \gamma\ge1   , \end{equation*} где \begin{equation*} 0 < \alpha({\gamma}) < C_1 = 4-2  {\pi}^{-1}  ({C_0 + \ln({4  \pi})}) - {\pi}^{-2}  {\ln{2}} = 1{,}95100252…\end{equation*} при всех ${\gamma}\ge 1$ и $C_0$ обозначает постоянную Эйлеpа. \par Более того, $\sup\{ |\alpha({\gamma})| : {\gamma}\ge 1 \} = C_1\, ,$
$$\varlimsup_{{\gamma}\to \infty} \alpha({\gamma}) \le {\pi}^{-2}\, ( 16 + C_0 + \ln({2\, \pi}) ) = 1{,}8658389924\dots $$
и $\alpha({\gamma}) < 1{,}95$ при всех ${\gamma}\ge 2\, .$
\end{theorem}
</mathmode><nomathmode> \vskip 0.1in \par В связи с теоремой \ref{N267:t1.1} особый интерес представляет вопрос о взаимоотношении функций \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} : не известно ни одного значения $\gamma\, ,$ при котором функции \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} принимают различные значения. \par Верна следующая теорема. \vskip 0.1in
\begin{theorem}\label{N267:t1.2} При всех </nomathmode><mathmode>${\gamma}\in [ 1 , 3 )$ справедливо равенство ${K(\gamma)} = {K^{\downarrow}(\gamma)} \, .$
\end{theorem}
</mathmode><nomathmode> \par \vskip 0.1in \par В статье [2] найдено точное значение функции \eqref{N267:f1.2} при всех ${\gamma}\in [ 1 , 6 ]\, .$ Это может оказаться полезным при попытке найти такое $\gamma\, ,$ если, конечно, оно существует, при котором функции \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} принимают различные значения. Если существуют вещественное число $\gamma\ge 3\, ,$ натуральное $m\ge 2\, ,$ вещественные числа $a_k\ge 1\, ,$ $k=1 , \dots , m\, ,$ $\sum_{k=1}^{m}\, a_k = \gamma$ и натуральные числа $1\le n_1 < \dots < n_m\, ,$
для которых полином
$$T(x)= K^{\downarrow}(\gamma) + \sum_{k=1}^{m}\, a_k\, \cos(n_k\, {x})$$
положителен во всех точках ${x}\in [ 0 , \pi ]\, ,$ то, очевидно, значения $K^{\downarrow}(\gamma)$ и $K(\gamma)$ различны. Поэтому детальное изучение функции \eqref{N267:f1.2} важно и для изучения функции \eqref{N267:f1.1}. \par Далее, для удобства изложения, положим
\begin{equation*} g(\gamma)=\frac{1}{\pi}\, \ln{\gamma} + \frac{1}{{\pi}^2}\, \frac{\ln{\gamma} }{\gamma} + \frac{C_0+\ln{2}+\ln{\pi}}{\pi} \quad \text{ при }\quad {\gamma}\ge 1\, . \end{equation*}
Тогда по теореме \ref{N267:t1.1}
\begin{equation*} {K^{\downarrow}(\gamma)} > g(\gamma) \quad \text{ при всех }\quad {\gamma}\ge 1\, . \end{equation*}
\par Пусть взяты произвольные натуральное число $m\ge 2\, ,$ вещественные числа $a_k\ge 1\, ,$ $k=1 , \dots , m\, ,$ и натуральные числа $1\le n_1 < \dots < n_m\, .$ Рассмотрим при $\gamma = \sum_{k=1}^{m} a_k$ полином
\begin{equation}\label{N267:f1.12} T(x)= g(\gamma) + \sum_{k=1}^m\, a_k\, \cos(n_kx)\, . \end{equation}
Если бы нашелся неотрицательный полином такого вида, то величина ${K(\gamma)}$ не превосходила бы ${g(\gamma)}$ и, значит, была бы меньше величины ${K^{\downarrow}(\gamma)}\, ,$ т.е. значения ${K(\gamma)}$ и ${K^{\downarrow}(\gamma)}$ не совпадали бы. Однако найти неотрицательный полином вида \eqref{N267:f1.12} не удается. Доказать, что любой полином вида \eqref{N267:f1.12} отрицателен в некоторой точке $x\, ,$ своей для каждого полинома, также пока не удается. \par Доказательство теоремы \ref{N267:t1.1} основано на изучении $($см. [3]$)$ экстpемальной задачи о минимуме свободного члена неотрицательного четного тpигонометpического полинома при некоторых условиях на коэффициенты.

Список литературы
  1. Odlyzko A.M., “Minima of cosine sums and maxima of polynomials on the unit circle”, J. London Math. Soc., 26:3 (1982), 412–420  crossref  mathscinet  zmath
  2. Белов А.С., “Об асимптотическом решении одной экстремальной задачи, связанной с неотрицательными тpигонометpическими полиномами”, Фундаментальная и прикладная математика, 18:5 (2013), 27–67  mathnet
  3. Белов А.С., “Об экстpемальной задаче о минимуме свободного члена неотpицательного тpигонометpического полинома”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 17:3 (2011), 105–121  mathnet

© МИАН, 2026