| RUS ENG |
| Полная версия |
|
|
|
| ВИДЕОТЕКА |
|
|
|||
|
Неравенства Винера–Ингама для лакунарных тригонометрических рядов А. Г. Бабенко, В. А. Юдин Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург |
|||
|
Аннотация: Тема, рассматриваемая в докладе, впервые появилась в исследованиях Н. Винера (1934) и существенно была развита А. Е. Ингамом (1936) и А. Сельбергом (1974). Пусть $$ f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\widehat{f}_{\nu_k}e^{i\nu_k x},\quad\text{все}\quad \nu_k\in\mathbb{Z},\quad\nu_{k+1}-\nu_{k}\ge{q}. $$ Зафиксируем $$ \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx\Bigg/\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx $$ для $$ \mathcal{E}^+_{n}(h):=\inf_{\tau\in\mathcal{T}_{n},\,\chi_{{}_h}\le\tau} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}\left\{\tau(x)-\chi_{{}_h}(x)\right\}\,dx, $$ $$ \mathcal{E}^-_{n}(h):=\inf_{\tau\in\mathcal{T}_{n},\,\tau\le{\chi_{{}_h}}} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}\left\{\chi_{{}_h}(x)-\tau(x)\right\}\,dx $$ наилучшего интегрального приближения соответственно сверху и снизу характеристической функции Теорема. Пусть $$ \frac{1}{\frac{h}{\pi}+\mathcal{E}^+_{q-1}(h)}\le \frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx}{\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx} \le\frac{1}{\frac{h}{\pi}-\mathcal{E}^-_{q-1}(h)}. $$ Заметим, что Следствие. Пусть $$ \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx\le \Big(q+{\rm ctg}\,\frac{\varepsilon}{2}{\rm ctg}\,\frac{h}{2}\Big) \int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx. $$ Положим $$ \alpha_q(h):=\sup_{f\in{D_q},\, \|f\|>0} \frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx}{\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2\,dx}. $$ Справедливы равенства $$ \lim_{h\to\frac{2\pi}{q}-0}\alpha_q(h)=q,\qquad \lim_{h\to\frac{2\pi}{q+1}-0}\alpha_q(h)=q+1. $$ Из первого равенства следует, что Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00702). Список литературы
|
|||
