Видеотека: Ю. В. Нестеренко, О постоянной Каталана

ВИДЕОТЕКА


Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2015 30 января 2015 г. 10:35, г. Москва, МИАН, 9 этаж, конференц-зал

О постоянной Каталана Ю. В. Нестеренко Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация: Постоянная Каталана $G=0.915965594177\ldots$ - одна из классических математических постоянных, может быть определена каждой из сумм $$ G=\sum\limits_{k\,=\,0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}\,=\,\frac{1}{2}\sum\limits_{k\,=\,0}^{+\infty} \frac{4^{k}}{(2k+1)^{2}}\binom{2k}{k}^{-1}. $$ Предположительно она иррациональна, но это до сих пор не доказано. Практически все подходы для доказательства иррациональности чисел основаны на конструкциях достаточно хороших рациональных приближений к этим числам. В последние годы в работах В.В. Зудилина, Т. Ривоаля и К. Краттенталера были предложены некоторые методы построения рациональных чисел, приближающих постоянную Каталана. Известно, что для каждого действительного числа $\alpha$ неравенство $$ \left\|\alpha- \frac{p}{q}\right\| \leqslant \frac{1}{q} $$ имеет бесконечно много решений в рациональных числах $p/q$. Для доказательства иррациональности $\alpha$ достаточно доказать сформулированное выше утверждение c величиной $\varepsilon q^{-1}$ в правой части при любом $\varepsilon>0$. Случаи, когда это удаётся сделать, крайне редки. Например, для постоянной Каталана это сделать не удаётся. Мы расскажем в докладе об одной эффективной конструкции диофантовых приближений к $G$, основанной на представлении гипергеометрической функции $_{3}F_{2}$ со специально подобранными параметрами в виде ряда и в виде двойного интеграла типа Эйлера по единичному кубу. Непосредственная работа с функцией $_{3}F_{2}$ позволяет существенно упростить доказательства имеющихся в этой области результатов и существенно расширить возможности метода. В частности, таким способом эффективно строится бесконечная последовательность рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству $$ \left\|\alpha- \frac{p}{q}\right\| \leqslant q^{-\,1/2}. $$ Конечно, эта последовательность рациональных приближений недостаточна для доказательства иррациональности $G$, но результаты такого типа позволяют сравнивать между собой качество различных конструкций. Некоторое усовершенствование доказывает и более точный результат с оценкой $q^{-11/20}$ в правой части. К сожалению, в доказательстве последнего утверждения присутствует одно свойство конструкции, проверенное на компьютере для достаточно большого множества возможных параметров, но не доказанное нами.