Предполагается изложить введение в классическую теорию. Полное доказательство основной теоремы — существование и единственность экстремального квазиконформного отображения в заданном гомотопическом классе гомеоморфизмов — будет основано на теории штребелевых квадратичных дифференциалов.

Программа

0. Римановы поверхности (обзор). Определения. Фундаментальная группа. Гомологии и род. Униформизация. Линейные расслоения и дивизоры. Теорема Римана-Роха.
1. Конформные и почти-комплексные структуры. Определения. Геометрический смысл. Взаимно-однозначное соответствие (с учётом ориентации). Действие группы диффеоморфизмов.
2. Дифференциалы Бельтрами. Определение и смысл выражения $\mu\,d\bar{z}/dz$. Норма дифференциала Бельтрами. Подправленный оператор Коши-Римана. Метрики вида $|dz + \mu\,d\bar{z}|^2$. Пространство дифференциалов Бельтрами и единичный шар в нём.
3. Квадратичные дифференциалы. Определяемые ими кусочно-евклидовы метрики, площади и горизонтальные слоения. Штребелевы дифференциалы и разбиения поверхностей на цилиндры. Спаривание с дифференциалами Бельтрами. Аппроксимация произвольного квадратичного дифференциала штребелевыми.
4. Пространство Тайхмюллера. Определение как фактора единичного шара в пространстве дифференциалов Бельтрами по группе диффеоморфизмов, гомотопных тождественному. Касательное и кокасательное пространства. Комплексная структура. Связь с пространством модулей кривых.
5. Задача Тайхмюллера. Постановка задачи об экстремальном квазиконформном отображении данном гомотопическом классе. Существование и единственность решения. Набросок доказательства по Альфорсу. Полное доказательство с использованием штребелевых дифференциалов.
6. Дополнительные вопросы. Метрика Тайхмюллера и её совпадение с гиперболической метрикой. Автоморфизмы пространств Тайхмюллера. Геодезические диски. Частичные компактификации пространств Тайхмюллера.

Лектор
Шабат Георгий Борисович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)