Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
Фриман Дайсон посчитал парную корреляционную функцию спектра случайной бесконечной эрмитовой матрицы ещё в 1962 году. Полученная функция, несмотря на свой простой вид — кардинальный синус — определяет взятием детерминанта корреляционные функции случайного счётноого подмножества прямой, называемого синус-процессом и представляющего огромный интерес и сегодня в вопросах, например, теории представлений, математической физики и аналитической теории чисел.
Так, Джимбо, Мива, Мори и Сато в 80-х гг. обнаруживают его связь с интегрируемыми системами, Монтгомери в 1973 г. указывает на его потенциальную связь с дзета-функцией, в начале 2000-х гг. Бородин и Ольшанский получают этот процесс из теории представлений бесконечной унитарной группы, а в 2015 г. Гош показывает, что любую целую функцию, растущую не быстрее экспоненты, можно восстановить по значениям в точках почти любого подмножества синус-процесса.
В курсе пойдет речь об исследовании «характеристического многочлена» синус-процесса — целой функции, равной нулю в точках случайного подмножества. Мы, начиная с основ, поговорим о его предельном распределении при стягивании случайного подмножества и объясним связь этого вопроса с важной задачей из ХХ века — исследованием определителей Тёплицевых матриц и ортогональных многочленов. Также будет рассказано о «физических» обобщениях синус-процесса и об их связи с интегрируемыми системами.
Курс не предполагает знакомства с материалом прошлого семестра.
Программа
- Операторы Тёплица и Ганкеля и их скейлинговые пределы.
- Мультиликативные функционалы детерминантных процессов.
- Гауссов мультипликативный хаос для синус-процесса.
- Круговой бета-ансамбль, его трёхдиагональная модель.
- Скейлинговый предел круговых бета-ансамблей. Конструкция Киллипа-Стоичу синус-бета процесса системой стохастических дифференциальных уравнений.
- Эволюция нулей голоморфной функции под действием уравнения теплопроводности. Модель Калоджеро-Сазерлэнда. Её интегрируемость, представление Лакса и связь с многочленами Джека.
- Деформация кси-функции Римана уравнением теплопроводности. Константа Неймана-Де Брёйна, её положительность.
 RSS: Ближайшие семинары
 Лекторы
Буфетов Александр Игоревич
Горбунов Сергей Михайлович
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
