Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться по этой ссылке.
Векторные расслоения на многообразиях естественно возникают в алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии, математической физике и прочих разделах математики. Какие бы аспекты векторных расслоений не изучались, различные варианты понятия стабильности расслоения всегда играют критически важную роль. В этом курсе мы подробно обсудим свойства стабильных расслоений в простейшей ситуации, то есть для алгебраических кривых (эквивалентно: на римановых поверхностях). Курс начнётся с определения и простейших свойств.
Главная цель курса — теорема Нарасимхана-Сешадри, утверждающая, что на алгебраических кривых стабильные расслоения имеют в некотором смысле топологическую природу, а не алгебраическую / голоморфную, как можно было бы ожидать из определения. Попутно мы чуть-чуть обсудим некоторые аспекты теории пространств модулей векторных расслоений на кривых. До некоторой степени это курс-калейдоскоп, в ходе которого мы в доступном виде встретимся с множеством важных математических сюжетов: стабильные расслоения, свойства ограниченности для семейств, соответствие Римана-Гильберта, теория деформаций, компактификации пространств модулей и т.п.
Пререквизиты: основы алгебраической или комплексной геометрии (многообразия, векторные расслоения, двойственность Серра, когомологии пучков) и алгебраической топологии (фундаментальная группа римановой поверхности, локальные системы, когомологии де Рама).
Программа
- Наклон. Теорема Римана-Роха для расслоений в терминах наклонов. Определение стабильности. Морфизмы между стабильными расслоениями.
- Фильтрация Хардера-Нарасимхана. Её существование и свойства. Эффективные критерии глобальной порождённости.
- Примеры стабильных расслоений. Классификация векторных расслоений на $\mathbb P^1$ и на эллиптической кривой.
- Стабильность как открытое свойство в семействах. Ограниченность семейства полустабильных расслоений. Немного о пространствах модулей расслоений.
- (если будет время) Лемма Фалтингса о существовании когомологически ортогонального расслоения, интерпретация с точки зрения пространств модулей.
- Локальные системы, связности с регулярными особенностями, продолжение по Делиню. Индуцированные расслоения, их (полу)стабильность.
- Формулировка теорема Нарасимхана-Сешадри. Доказательство (локальной) инъективности через теорию деформаций.
- Собственность пространств модулей полустабильных расслоений. Доказательство сюръективности в теореме Нарасимхана-Сешадри.
- Обзор обобщений и вариантов: понятия (мн.ч.) стабильности расслоений на многомерных многообразиях, соответствие Кобаяши-Хитчина, аналитический подход Дональдсона-Уленбек-Яу, неабелева теория Ходжа и т.п.
 RSS: Ближайшие семинары
 Лектор
Пирожков Дмитрий Владимирович
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
