Данный курс посвящён современным подходам и техникам, применяемым для исследования квантовой теории гравитации в обход широко известных проблем с перенормируемостью и зависимостью от фоновой геометрии.

Общей идеей данных методов является интерпретация функционального интеграла в приближённом смысле как суммы по многообразиям, отвечающим заданным граничным условиям. В контексте этих граничных условий квантовая гравитация исследуется путём переноса формальных конструкций из хорошо определённых квантовых теорий поля через механизмы голографического принципа. Цель данных лекций — показать эффективность данного подхода на примере информационной проблемы чёрных дыр и избранных вопросов структуры пространства состояний квантовой гравитации. В курсе будут изложены ключевые результаты в квантовой гравитации, полученные ведущими мировыми группами в последние десять лет.

От студентов требуется знание квантовой теории поля (минимум первый семестр, понимание теории перенормировок желательно для контекста, но необязательно), общей теории относительности, дифференциальной геометрии и гауссова интеграла для матриц.

Программа

Часть 1. Вводные сведения из квантовой теории и классической гравитации

1. Лагранжева формулировка общей теории относительности (ОТО). Уравнения движения и граничные условия. Максимально симметричные решения: пространства Минковского, де Ситтера (dS) и анти-де Ситтера (AdS). Источники: частицы и оболочки. Теория Джакива-Тейтелбойма как маломерный аналог ОТО.
2. Чёрные дыры в ОТО. Температура и энтропия чёрных дыр как геометрические величины. Диаграммы Пенроуза. Излучение Хокинга. Эволюция чёрных дыр и унитарность.
3. Функциональный интеграл в квантовой теории поля. Статсумма и волновая функция как функциональные интегралы. Состояние thermofield double (TFD) как пример применения функционального интеграла в КТП при конечной температуре. Частично зацепленные температурные состояния (PETS) в КТП. Состояние Хартла-Хокинга в гравитации.
4. AdS/CFT-соответствие как проводник для систематического подхода к квантовой гравитации в пространстве AdS. Голографический словарь: квазиклассические состояния в КТП как геометрии в асимптотически AdS пространстве. Парадигма ER = EPR и примеры дуального описания зацепленных состояний.

Часть 2. Информационная проблема чёрных дыр

1. Формулировки информационной проблемы чёрных дыр. Краткий обзор результатов из теории суперструн.
2. Энтропия зацепленности излучения Хокинга. Кривая Пейлжа в случае испаряющейся и вечной чёрных дыр. Испарение чёрных дыр в контексте AdS/CFT-соответствия. Формула Рю-Такаянаги и её обобщение с учётом квантовых поправок.
3. Островная формула вычисления энтропии зацепленности чёрных дыр и их излучения.
4. Режим низких энергий в функциональном интеграле квантовой гравитации как сумма по геометриям. Репличные кротовые норы как доказательство островной формулы.

Часть 3. Пространство состояний квантовой гравитации

1. Гравитация как ансамбль квантовых систем. Эквивалентность теории гравитации матричным интегралам на примере теории Джакива-Тейтелбойма. Проблема факторизации евклидовой статсуммы с граничными условиями на несвязных многообразиях.
2. Квазиклассические микросостояния чёрных дыр как голографические двойники PETS. Интерпретация энтропии Бекенштейна-Хокинга на языке микросотояний. Проблема факторизации пространства состояний в AdS/CFT-соответствии и её решение.

Лектор
Храмцов Михаил Александрович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)