Short Communications
Über die konjugierten Ordnungen und konjugierten Typen der Abklinggeschwindigkeit eines mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsgesetzen
G. Shopf Martin-Luther-Universität, Sektion Mathematik, DDR
Abstract:
In der vorliegenden Arbeit wird ein mehrdimensionales Analogon des bekannten Satzes von Ramachandran aufgestellt.
Wenn
$P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß im
$R^n$ ist, dann sei
$$
W_P(t;a)=1- P(G_a(t))\ \text{und}\ W_P(t;b;\varkappa)= 1- P(G_b(t;\varkappa)),
$$
wobei
$$
G_a(t)=\biggl\{x\in R^n:\sum_{i=1}^n |x_i|^{a_i}<t\biggr\},\qquad
G_b(t,\varkappa)=\biggl\{x\in R^n:\sum_{i =1}^n b_i|x_i|^{\varkappa_i}<t\biggr\}.
$$
Die Abklingcharakteristiken sind als die Ränder folgender Gebiete definiert:
\begin{gather*}
B_{\varkappa}(P)=\biggl\{a\in\operatorname{int} R_+^n\colon \varliminf_{t\to\infty}\biggl(\ln\ln\frac{1}{W_P(t;a)}/\ln t\biggr)>1\biggr\},
\\
B_{\lambda}(P,\varkappa)=\biggl\{b\in\operatorname{int} R_{+}^{n}\colon \varliminf_{t\to\infty}\bigg(ln\frac{1}{W_{P}(t;b;\varkappa)}/t\biggr)>1 \biggr\}
\end{gather*}
Es wird folgender Satz bewiesen.
Satz. {\it Es sei
$P$ ein Wahrscheinliehkeitsmaß im
$R^n$ mit ganzer charakteristischer Funktion
$\varphi (z; P)$.
(i) $B_{\varkappa}(P)=\{a\in R^n\colon 0<a_i<\overline{\rho}_i/(\overline{\rho}_i-1);\quad
i=1,\dots,n\}$.
(ii) Wenn
$\varkappa_1>1,\dots,\varkappa_n>1$ ein system konjugierter Ordnungen der Abklinggeschwindigkeit von
$P$ ist (d.h.
$\varkappa\in\partial B_{\varkappa}(P)$), dann gilt
\begin{gather*}
B_{\lambda}(P;\varkappa)=\biggl\{b\in\operatorname{int} R_+^n\colon \biggl(\frac{1}{\rho_1}\biggl(\frac{1}{b_1\varkappa_1}\biggr)^{\rho_1-1},\dots,
\frac{1}{\rho_n}\biggl(\frac{1}{b_n\varkappa_n}\biggr)^{\rho_n-1}\biggr)
\in B_{\sigma}(\varphi;\rho),
\\
\rho_i=\frac{\varkappa_i}{\varkappa_i-2};\qquad i=1,\dots,n\biggr\}.
\end{gather*}
Hierbei bedeuten
$\overline{\rho}_i$ (
$i=1,\dots,n)$ die Ordnung der Funktion
$\varphi(z; P)$ bezüglich der Veränderlichen
$z_i$ und
$B_{\sigma}(\varphi; \rho)$ die Menge, die durch die Hyperfläche der konjugierten Typen von
$\varphi (z; P)$ begrenzt ist.}
Received: 25.11.1976
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