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Short Communications

Sur la conduite limite des Compositions des mesures dans le plan $L_2$ et L'espace $L_3$ de Lobatchevski

V. N. Tutubalin

Moscow

Abstract: Soit $O$ l'origin dans $L_2$ (ou $L_3$), $\theta_x$ une translation conduisant $O$ dans $x,\mu_1$ et $\mu_2$ les mesures satisfaisant la condition $\mu_1(\Gamma)=\mu_1(h\Gamma)$ et $\mu_2(\Gamma)=\mu_2(h\Gamma)$ pour chaque $h$, $hO=0$. La mesure $\mu_1*\mu_2(\Gamma)=\int{\mu_1}(\theta _x^{-1}\Gamma)\mu_2(dx)$ ne depend pas du choix $\theta_x$. Soit $\eta=\rho(O,x)$, (ou $\rho$ est la metrique invariante), $\mu^n=\mu\underbrace{*\cdots*}_n\mu,F_\mu(y)=\mu\{x:\eta<y\}$. Les mesures $\mu$, et $\nu$ satisfaisant la condition $a_1(\mu)=a_1(\nu), a_2 (\mu)=a_2(\nu)$ ($a_1$ et $a_2$ (sont defini pour $L_3$ dans §1 et pour $L_2$ dans §3), on peut demontrer que $\sup_{0\leq y<\infty}|{F_{\mu^n}(y)-F_{\nu^n}(y)}|_{n\to\infty}\to0$.
La mesure $\nu$ est nommee infiniment divisible, si on peut trouver pour chaque $\varepsilon>0$ les mesures $\mu_1^{(\varepsilon)},\dots,\mu_{n_\varepsilon}^{(\varepsilon)}$ telles que $\nu=\mu_1^{(\varepsilon)}* \dots*\mu_{n_\varepsilon}^{(\varepsilon )}$ et $\mu _i^{(\varepsilon)}(x:\eta>\varepsilon)\leq\varepsilon, i= 1,2,\dots,n_\varepsilon$.
La mesure $\mu$, satisfaisant la condition $a_1(\mu)\leq a_2 (\mu)-a_1^2(\mu)$ pour $L_3$ et $2a_1(\mu)\leq a_2(\mu)-a_1^2(\mu)$ pour $L_2$, on peut trouver la mesure $\nu$ infiniment divisible telle que $\sup_{0\leq y<\infty}|{F_{\mu ^n}(y)-F_{\nu ^n}(y)}|_{n\to\infty}\to0$.

Received: 25.04.1960

 English version: Theory of Probability and its Applications, 1962, 7:2, 189–196